[Toán 8] BT nâng cao

[lunvan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn làm đi, để tớ xem mình làm có đúng không. Mong giúp đỡ!
-Bài 1:Chứng minh rằng với 3 số a,b,c tuỳ ý, ta có:
a)[TEX]a^2 +b^2+1\geq ab+a+b[/TEX]

b) [TEX]a^2 +b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)[/TEX]

-Bài 2:Cho a,b,c là các số dương, chứng minh:
a) [TEX]\frac{a}{b} +\frac{b}{a}\geq2[/TEX]

b) [TEX](a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 4[/TEX]

c) [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]

-Bài 3:Chứng minh rằng với mọi số a, ta có:
[TEX]a^2+a+\frac{1}{a^2}-a+1>0[/TEX]

b)Cho [TEX]0<a_1<a_2<...<a_9[/TEX], chứng minh
[TEX]\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_9}{a_3+a_6+a_9}<3[/TEX]

Mình sửa đề câu 3 thế có đúng không, bạn cần học gõ latex trước khi post bài nhé

 

[cuncon2395]

Các bạn làm đi, để tớ xem mình làm có đúng không. Mong giúp đỡ!
-Bài 1:Chứng minh rằng với 3 số a,b,c tuỳ ý, ta có:
a)a^2 +b^2+1\geq ab+a+b
b) a^2 +b^2+c^2+3\geq 2(a+b+c)

-Bài 2:Cho a,b,c là các số dương, chứng minh:
a) a/b +b/a\geq2
b)(a+b)(1/a+1/b)\geq 4
c)(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) \geq 9

-Bài 3:Chứng minh rằng với mọi số a, ta có:
a^2+a+1/a^2-a+1>0
b)Cho 0<a1<a2<...<a9, chứng minh
a1+a2+a3+...+a9/a3+a6+a9<3

2, trước
a, Xét hiệu [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a} -2 [/TEX]
= [TEX]\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}[/TEX]
= [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab}[/TEX]
Vì [TEX](a-b)^2\geq0 \forall a,b[/TEX]
ab\geq0 Vì a,b >0
=> [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab }\geq0[/TEX]
vậy [TEX]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2[/TEX]
b,
biến đôi tương đương cho dễ nhaz
ta có [TEX](a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq\4[/TEX]
<=> [TEX]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}\geq0[/TEX]
<=> [TEX]\frac{b(a+b)}{ab(a+b)}+\frac{a(a+b)}{ab(a+b)}-\frac{4ab}{ab(a+b)}\geq0[/TEX]
<=> [TEX]\frac{b(a+b)+a(a+b)-4ab}{ab(a+b)}\geq0[/TEX]
<=> [TEX]\frac{a^2+b^2-2ab}{ab(a+b)}[/TEX]
<=> [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)\geq0[/TEX]
Vì [TEX](a-b)^2 \geq0 \forall a,b [/TEX]
a,b >0 -> ab>0 -> a+b>0 -> ab(a+b)>0
=> [TEX]\frac{(a-b)^2}{ab(a+b)\geq0[/TEX]
Vậy [TEX](a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\geq4[/TEX]

 

[nhongocxit_9x]

ta có theo BĐT Côsi :[TEX] a^2 + b^2 [/TEX][TEX]\geq[/TEX] 2ab&gt;-
[TEX]a^2 +1[/TEX][TEX] \geq[/TEX]2 a
[TEX] b^2 +1[/TEX][TEX] \geq[/TEX]2 b
[TEX] \Rightarrow[/TEX] 2 [TEX]( a^2 +b^2 + c^2 )[[/TEX]TEX] \geq[/TEX] 2 ( a+ab+ b)
[TEX] a^2 +1 \geq 2a[/TEX]
[TEX] b^2 +1 \geq 2b [/TEX] [TEX]c^2 +1 \geq 2c [/TEX]
[TEX] \Rightarrow[/TEX][TEX] 2 (a^2 +b^2 +c^ 2[/TEX][TEX])\geq [/TEX]2 ( a+b+c)||||||||||

Áp dụng côsi cho các số dương ta có[TEX] a/b +b/a[/TEX][TEX] \geq[/TEX] 2[TEX]\sqrt{a/b+b/a}[/TEX] [TEX] \Leftrightarrow[/TEX] [TEX] a/b +b/ a[/TEX][TEX]\geq[/TEX] 2&gt;-&gt;-

đơn giản hơn nhìu mấy em ạ >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

 

[cuncon2395]

c,[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq9[/TEX]
Ta có [TEX]A=(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
A= [TEX]\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}[/TEX]

A= [TEX]1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+1+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+1[/TEX]
A= [TEX]3+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})[/TEX]
theo câu b, thì [TEX]\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2 [/TEX]
[TEX]\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\geq 2[/TEX]
[TEX]\frac{b}{c}+\frac{c}{b} \geq 2 [/TEX]
=> A \geq 3+2+2+2 => A\geq9
Vậy [TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq9[/TEX]

 

[cuncon2395]

bài 3,
ta có [TEX]a^2+a+\frac{1}{a^2}-a+1>0[/TEX]
<=> [TEX]a^4+a^3+a-a^3+a^2>0[/TEX]
<=>[TEX]a^4+a^2+1>0[/TEX](1)
Vì [TEX]a^4\geq0 \forall a[/TEX]
[TEX]a^2 \geq0 \forall a [/TEX]
BĐT (1) luôn đúng các phép biến đổi là tương đương
Vậy [TEX]a^2+a+\frac{1}{a^2}-a+1>0[/TEX]

 

[jupiter994]

câu 1:
[tex]a^2 +1 \geq 2a[/tex]
[tex]b^2 +1 \geq 2b[/tex]
[tex]a^2+b^2 \geq 2ab[/tex]
=>> [tex]2(a^2+b^2+1) \geq 2(a +b+ab)[/tex]
[tex](a^2+b^2+1) \geq 2(a +b+ab)[/tex]

 

[ngduchai]

bai nay xem ai giai duoc nhe
Cho a,b,c duong. CMR
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}>1[/TEX]

 

[jupiter994]

bai nay xem ai giai duoc nhe
Cho a,b,c duong. CMR
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}>1[/TEX]

cho biểu thức là P
[tex]P \geq \frac{a}{2\sqrt{bc}} + \frac{b}{2\sqrt{ac}} + \frac{c}{2\sqrt{bc}} \geq \frac{(\sqrt{a} +\sqrt{b} + \sqrt{c})^2}{2(\sqrt{bc} + \sqrt{ac} + \sqrt{ab})} > 1[/tex]

 

[tueminh24]

bai nay xem ai giai duoc nhe
Cho a,b,c duong. CMR
[TEX]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a}>1[/TEX]

Cách ngắn hơn có thể cm là:
Ta có:
[tex]\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{b+a} > \frac{a}{b+c +a }+\frac{b}{a+c + b}+\frac{c}{b+a + c} = 1 [/tex]

 

[tueminh24]

Mấy pác giúp dùm bài này:
Cho tam giác nhọn ABC.
Tính giá trị nhỏ nhất của: P = tanA + tanB + tanC

 

[thanchet07]

Mufc

Bài này cũng hay nè
Cho a, b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Chứng minh : (a/ b+c ) + ( b/ a+c ) + ( c/a+b ) < 2

Lưu ý: Mình không gõ được phân so, cac ban thong cam

 

[conan193]

vì a, b, c là dộ dài 3 cạnh của tam giác nên a, b, c >0
ta có:
[TEX]\frac{a}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{b}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{c+a}[/TEX]

=[TEX]\frac{(a+b)-b}{a+b}[/TEX] +[TEX]\frac{(b+c)-c}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{(c+a)-a}{c+a}[/TEX]
ta được:
S= 3 - ( [TEX]\frac{b}{a+b}[/TEX] + [TEX]\frac{c}{b+c}[/TEX] + [TEX]\frac{a}{c+a}[/TEX])
dễ thấy tổng 3 hạng tử trong ngoặc lớn hơn 1, bởi vậy S< 2 đpcm

 

[conan193]

cho x, y, z cmr:

[TEX]\frac{x^2}{y^2}[/TEX] [TEX]+\frac{y^2}{z^2}[/TEX] [TEX]+ \frac{z^2}{x^2}[/TEX] [TEX]\geq\frac{x}{y}[/TEX] [TEX]+\frac{y}{z}[/TEX] [TEX]+\frac{z}{x}[/TEX].

 

[thatki3m_kut3]

b)Cho 0<a1<a2<...<a9, chứng minh
a1+a2+a3+...+a9/a3+a6+a9<3

bài này dễ thôi
Ta có
[TEX]a_1+a_2+a_3<3a_3[/TEX]
[TEX]a_4+a_5+a_6<3a_6[/TEX]
[TEX]a_7+a_8+a_9<3a_9[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a_1+a_2+...+a_9<3(a_3+a_6+a_9)[/TEX]
hay [TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_9}{a_3+a_6+a_9}<3[/TEX] ( vì [TEX]a_3+a_6+a_9[/TEX] khác 0)

 

[thatki3m_kut3]

bạn conan ơi, đề làm sao thế, mình ko hiểu
bạn viết đề lại đi nhá

 

[thatki3m_kut3]

cho x, y, z cmr:

.

Mình nghĩ bài này x, y, z là 3 số dương chứ
Gọi A=[TEX]\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}[/TEX]
Áp dung bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki được
3A=[TEX](\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2})(1+1+1)[/TEX]\geq[TEX](\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2[/TEX] (1)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số x, y,z ko âm, ta được
[TEX]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/TEX]\geq[TEX]3.\sqrt[3]{\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}[/TEX] (2)
Nhân từng vế của (1) với (2)
[TEX]3A(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})\geq3(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x})^2[/TEX]\Rightarrow[TEX]A\geq\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}[/TEX]

 

[thanchet07]

Tiep tuc nhe, . Cho a, b , c > 0
Cm: (a+b)(a+c)(b+c) lon hon hoac bang 8abc

 

[linhhuyenvuong]

Tiep tuc nhe, . Cho a, b , c > 0
Cm: (a+b)(a+c)(b+c) lon hon hoac bang 8abc

____________________________
Ta co
[tex] (a+b)^2\geq4ab[/tex]
[tex](b+c)^2\geq4bc[/tex]
[tex](a+c)^2\geq4ac[/tex]
=>[tex][(a+b)(b+c)(a+c)]^2\geq64a^2b^2c^2[/tex]
=> [tex] (a+b)(b+c)(c+a)\geq8abc[/tex]

 

[thanchet07]

chao ca nha, tui moi vao, mong duoc moi nguoi giup do them de cung tien bo nhe, thanks nhiu

 

[thanchet07]

ai co de thi Hk 2 lop 8 cac nam tinh Thanh hoa thi post len nhe, tui cam on nhiu