[Toán 8] BDT cần chứng minh gấp

[0915549009]

Bài ny` đề đúng rồi đó pạn
BĐT Nasơbít mà (Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và Tuổi trẻ Quyển 2, trang 64 ấy)

 

[tomorrowhero]

còn bài này tương tự nữa, mọi ng` C/m xem :

[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}[/TEX] với x,y,z \geq 0 và x,y,z \leq 3

đề bài này có nhầm lẫn. Đồng ý vs typhoon_vsthien_95, thanks phát

 

[01263812493]

bài nì thì đề đúng oi`
nhưng có bạn nào c/m BĐT này hok:
với 0 \leq x,y,z \leq 3 ấy

[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}[/TEX] có bn nào c/m hok
_____________________________

 

[trydan]

Bài này phải lớn hơn [TEX]\frac{3}{4}[/TEX] mới đúng chứ nhỉ? Bài này cũng dựa trên bất đẳng thức quen thuộc [TEX](a+b+c) \big( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \big) \geq 9[/TEX]
Ta cho [TEX]x+1, y+1, z+1[/TEX] như [TEX]a, b, c[/TEX] thì ta có
[TEX][(x+1)+(y+1)+(z+1)] \big( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \big) \geq 9 \Leftrightarrow (3+x+y+z) \big( \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \big) \geq 9 [/TEX]
[TEX] \Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \geq \frac{9}{3+x+y+z}[/TEX]
mà [TEX]0 \leq x, y, z \leq 3[/TEX] nên[TEX] x+y+z \leq 9 [/TEX] [TEX] \Rightarrow 3+x+y+z \leq 12 \Rightarrow \frac{9}{3+x+y+z} \geq \frac{9}{12} =\frac{3}{4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1} \geq \frac{3}{4}[/TEX] (đpcm)



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 

[01263812493]

c/m nhỏ hơn hoặc = [TEX]\frac{3}{2}[/TEX] mà chứ đâu phải [TEX]\frac{3}{4}[/TEX] đâu

bn nào hiu~ cáh c/m của bn 0915549009 hok thì gõ tex mình coi thử coi

___________________________________

 

[quan8d]

đề này sai rồi , phải là x+y+z \leq 3 chứ, như thế mới làm đc

 

[01263812493]

đề này trong sách của mình nhưng mình nghĩ chak hok sai đâu
còn về BĐT nesbit , mình nghĩ C/m thế này:
[TEX]C/m \ \ \ : \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX]với x,y,z >0

đặt:[TEX]y+z=a ; \ \ \ x+z =b \ ;\ \ x+y=c \ \ \ (a,b,c >0)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow x=\frac{b+c-a}{2} \Rightarrow \frac{x}{y+z}=\frac{b+c-a}{2a}[/TEX]
tương tự :[TEX] \frac{y}{x+z}=\frac{a-b+c}{2b}[/TEX]

[TEX]\frac{z}{x+y}=\frac{a+b-c}{2c}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a-b+c}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}[/TEX]

[TEX]=\frac{b+c-a}{2a} +1+\frac{a-b+c}{2b}+1+\frac{a+b-c}{2c}+1-3[/TEX]

[TEX]=\frac{1}{2}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3[/TEX]
mà ta có Bđt wen thuộc với a,b,c>0

[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{2}(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})-3 \geq \frac{9}{2}-3 = \frac{3}{2}[/TEX]
còn cách của bạn 090..... j` đó thì hơi khó hiu~
______________________________________

 

[tomorrowhero]

bài nì thì đề đúng oi`
nhưng có bạn nào c/m BĐT này hok:
với 0 \leq x,y,z \leq 3 ấy

[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}[/TEX] có bn nào c/m hok
_____________________________

n mà nếu vs đk của đề bài 0 \leq x,y,z \leq 3 thì nếu thử trg hợp vd như x=y=1, z=3 thì [TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}[/TEX] = 1,25 < 1,5 sai vs bđt cần cm

ak thêm bài nè
[TEX]\frac{a+b}{ab+c ^ 2}+ \frac{b+c}{bc+a ^ 2}+ \frac{a+c}{ac+b ^ 2} \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}[/TEX]

 

[bigbang195]

ak thêm bài nè
[TEX]\frac{a+b}{ab+c ^ 2}+ \frac{b+c}{bc+a ^ 2}+ \frac{a+c}{ac+b ^ 2} \le \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}[/TEX]

Ko mất tính tổng quát giả sử

. thì

chỉ cần CM

Phần này chắc đã dễ rồi.

 

[01263812493]

chak đề là C/m [TEX]\geq \frac{3}{4}[/TEX] wa' chứ mình cũng C/m như thế wai` mà hok ra ______________________

 

[luckystar_96]

trong sách sáng tạo bất đẳng thức có chứng minh rồi bạn ak , nó sử dụng bất đẳng thức AM_GM , bạn có thể tham khảo

 

[01263812493]

ah` mình hok có sách đó ---------- mình chứng minh thế xem mình có c/m đúng hok ------------- còn cái AM_GM là cái j`ạ
___________________________________

 

[bigbang195]

Am-Gm là tên gọi quốc tế của BDT Cauchy, thực ra Cauchy chỉ nghĩ ra cách cm bằng quy nạp cho bdt chứ không phải người duy nhất phát hiện ra nó nên để ko nhầm lẫn người ta thường gọi là bdt AM-GM



Sáng tạo BDT dow ở đây nè

 

[01263812493]

một số bài nữa nè bà con --------- thử nhé:

[TEX]1.C/m: \frac{a}{b+c+1}+ \frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}+ (1-a)(1-b)(1-c) \leq 1 [/TEX] với 0 \leq a,b,c \leq 1

2.Tìm Max :[tex] A=x^3(2-x)^5 [/tex] với 0 \leq x \leq 2

3.C/m : [TEX]B= \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+ \frac{3}{2^3}+ \frac{4}{2^4}+......... + \frac{100}{2^{100}} < 2[/TEx]

ah` mà bài 2 mình làm thế này hok biết đúng hok:

[tex]A=x^3(2-x)^5 =\frac{1}{3}.3.x.x.x(2-x)(2-x)(2-x)(2-x)(2-x) [/tex]

[tex] \leq \frac{1}{3}(\frac{3x+x+x+2-x+2-x+2-x+2-x+2-x}{8})^8=\frac{1}{3}.(\frac{5}{4})^8 [/tex]
vậy [tex] Max = \frac{1}{3}.(\frac{5}{4})^8 \Leftrightarrow 3x=x=2-x [/tex] nhưng đến đây sao tìm x dc
____________________________________
Biết điều mà ai cũng biết là không biết gì hết . Cái biết chỉ bắt đầu ở chỗ mà mọi người không biết ----- ( REMY DE GOURMONT)

 

[bigbang195]

một số bài nữa nè bà con --------- thử nhé:

[TEX]1.C/m: \frac{a}{b+c+1}+ \frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}+ (1-a)(1-b)(1-c) \leq 1 [/TEX] với 0 \leq a,b,c \leq 1

2.Tìm Max :[tex] A=x^3(2-x)^5 [/tex] với 0 \leq x \leq 2

3.C/m : [TEX]B= \frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+ \frac{3}{2^3}+ \frac{4}{2^4}+......... + \frac{100}{2^{100}} < 2[/TEx]

ah` mà bài 2 mình làm thế này hok biết đúng hok:

[tex]A=x^3(2-x)^5 =\frac{1}{3}.3.x.x.x(2-x)(2-x)(2-x)(2-x)(2-x) [/tex]

[tex] \leq \frac{1}{3}(\frac{3x+x+x+2-x+2-x+2-x+2-x+2-x}{8})^8=\frac{1}{3}.(\frac{5}{4})^8 [/tex]
vậy [tex] Max = \frac{1}{3}.(\frac{5}{4})^8 \Leftrightarrow 3x=x=2-x [/tex] nhưng đến đây sao tìm x dc

Muốn khử 5x bạn nên biến đổi thành

thế nên chỉ cần

 

[luckystar_96]

mình làm bài 3 nhá
2B=1 +[TEX]\frac{2}{2}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{2^2}[/TEX]+...+[TEX]\frac{100}{2^99}[/TEX]B=[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]+ [TEX]\frac{2}{2^2}[/TEX]+....+[TEX] \frac{100}{2^100}[/TEX]
===> 2B-B = ( 1 + [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{2^2}[/TEX]+... +[TEX] \frac{1}{2^99}[/TEX] - [TEX]\frac{100}{2^100}[/TEX]
tương tự ta chứng minh như trê để CM( 1 + [TEX]\frac{1}{2}[/TEX]+ [TEX]\frac{1}{2^2}[/TEX]+... +[TEX] \frac{1}{2^99}[/TEX]<2
==> ĐPCM

 

[quan8d]

một số bài nữa nè bà con --------- thử nhé:

[TEX]1.C/m: \frac{a}{b+c+1}+ \frac{b}{a+c+1}+ \frac{c}{a+b+1}+ (1-a)(1-b)(1-c) \leq 1 [/TEX] với 0 \leq a,b,c \leq 1
____________________________________
Biết điều mà ai cũng biết là không biết gì hết . Cái biết chỉ bắt đầu ở chỗ mà mọi người không biết ----- ( REMY DE GOURMONT)

Không mất tính tổng quát giả sử : [tex] 0 \leq a \leq b \leq c \leq 1[/tex]. Khi đó: [tex]0<a+b+1\leq a+c+1\leq b+c+1[/tex]. Suy ra: [tex]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1} \leq \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{a+b+1}+\frac{c}{a+b+1} = \frac{a+b+c}{a+b+1}[/tex]
Do [tex] c\leq1, a+b+1 >0[/tex] nên [tex] \frac{a+b+c}{a+b+1} \leq1[/tex] . Ta cần chứng minh :[tex]\frac{a+b+c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq1[/tex]
hay : [tex](1-a)(1-b)(1-c) \leq 1- \frac{a+b+c}{a+b+1}=\frac{1-c}{a+b+1}[/tex]
Vì [tex]1\geq c [/tex] nên [tex]1-c \geq0 [/tex] suy ra :[tex] (1-a)(1-b) \leq\frac{1}{a+b+1} [/tex]hay[tex] (1-a)(1-b)(a+b+1)\leq1[/tex]
Thật vậy áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm [tex]1-a,1-b[/tex] và[tex] a+b+1[/tex] ta có:
[tex]\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(a+b+1)}\leq \frac{1-a+1-b+a+b+1}{3}=1[/tex]
Suy ra: [tex]\frac{a+b+c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq1[/tex]
Vậy [tex]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c) \leq1[/tex]

 

[01263812493]

sao hok ai lam` hoàn thiện mấy bài đó hết zậy -- giúp mình di mọi ng` mình còn vài bài nữa nè :
1.a) Chứng mình rằng : [TEX]x^2+xy+y^2-3x-3y+3 \geq 0[/TEX]
b) chứng mình rằng với a,c,b là 3 cạnh tg thì :
[TEX](a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) \leq abc[/TEX]

2.Chứng minh bất đẳng thức sau với a,b,c >0 :
[TEX]\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a} \geq \frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{b+2a+c}+\frac{1}{a+2c+b}[/TEX]

3.a)Cho [tex]7x^2+8xy+7y^2=10[/tex]. Tìm Min và Max của [tex]x^2+y^2 [/tex]
b)Cho a,b,c thuộc [0;1]Chứng minh rằng :[tex] a+b^2+c^3 -ab-ac-bc \leq 1[/tex]
bạn nào làm mấy bài này và mấy bài trước mình thanks nhìu
_______________________________

 

[tinhbanonlinevp447]

]
b) chứng mình rằng với a,c,b là 3 cạnh tg thì :
[TEX](a+b-c)(a-b+c)(b+c-a) \leq abc[/TEX]

Vì a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác nên [TEX]a+b-c>0;b+c-a>0 a+c-b>0[/TEX]
Áp dụng BĐT cauchi ta có:
[TEX]\sqrt[]{a+b-c}\sqrt[]{a-b+c} \leq a[/TEX]
[TEX]\sqrt[]{a-b+c}\sqrt[]{b+c-a} \leq c[/TEX]
[TEX]\sqrt[]{a+b-c}\sqrt[]{b+c-a} \leq b[/TEX]
Nhân lại với nhau ta được ĐPCM

 

[bigbang195]

[TEX]\blue \fbox{\left{\prod_{cyclic} (a-1) \le 0 \Rightarrow \sum_{cyclic} a-\sum_{cyclic} ab \le 1-abc \le 1 \\ a=a ;b^2 \le b; c^3 \le c[/TEX]