[Toán 8] BDT cần chứng minh gấp

0

01263812493

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Với [TEX] 0 \leq x,y,z \leq 1[/TEX] C/m:
[TEX]2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x) \leq 3[/TEX]

2.với a,c,b,d >0 . C/m:
[TEX]\frac{a^2}{b^5}+ \frac{b^2}{c^5}+ \frac{c^2}{d^5}+ \frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}[/TEX]

3.cho a,b,c >0
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]

mình sắp thi oi` ____________ ai C/m nhanh mình thanks nhiu`
 
Last edited by a moderator:
Q

quan8d

01263812493 said:
1. Với [TEX] 0 \leq x,y,z \leq 1[/TEX] C/m:
[TEX]2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x) \leq 3[/TEX]

3.cho a,b,c >0
[TEX]\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{a+b+c}{2abc}[/TEX]
mình sắp thi oi` ____________ ai C/m nhanh mình thanks nhiu`
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
1, Vì [tex] 0 \leq x,y,z \leq1[/tex]nên[tex] x^2,y^2,z^2 \leq 1[/tex]
Suy ra : [tex] (1 - x^2)(1 - y) \geq0 [/tex]
\Rightarrow [tex] 1 - y - x^2+x^2y \geq0 [/tex]
\Rightarrow[tex] 1+x^2y \geq x^2+y \geq x^3+y^3 [/tex]
Tương tự cũng có : [tex]1+y^2z \geq y^3+z^3[/tex],[tex]1+z^2x \geq z^3+x^3[/tex]
Cộng vế theo vế 3 BĐT ta được
[TEX] 3+ (x^2y+y^2z+z^2x)\geq 2(x^3+y^3+z^3)[/TEX]
Vậy
[TEX]2(x^3+y^3+z^3)-(x^2y+y^2z+z^2x) \leq 3[/TEX]
3,Áp dụng BĐT Cô si ta có:
[tex] a^2+bc \geq 2a\sqrt{bc} [/tex]
[tex] b^2+ac \geq 2b\sqrt{ac} [/tex]
[tex] c^2+ab \geq 2c\sqrt{ab} [/tex]
Suy ra [tex] \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab} \leq \frac{1}{2a\sqrt{bc}}+\frac{1}{2b\sqrt{ac}}+\frac{1}{2c\sqrt{ab}}[/tex]
[tex] \leq \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{abc}[/tex]
[tex] \leq \frac{1}{2}.\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+ \frac{a+c}{2} }{abc} [/tex][tex]= \frac{a+b+c}{2abc}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
S

son_9f_ltv

01263812493 said:
2.với a,c,b,d >0 . C/m:
[TEX]\frac{a^2}{b^5}+ \frac{b^2}{c^5}+ \frac{c^2}{d^5}+ \frac{d^2}{a^5} \ge \frac{1}{a^3} + \frac{1}{b^3} + \frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}[/TEX]


mình sắp thi oi` ____________ ai C/m nhanh mình thanks nhiu`
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

có
[TEX]\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+ \frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge 5\frac{1}{a^3}[/TEX]
xây dựng các BDT tương tự ta đc
[TEX]3VT+2VP\ge 5VP------->dpcm[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
0

01263812493

quan8d said:
1, Vì [tex] 0 \leq x,y,z \leq1[/tex]nên[tex] x^2,y^2,z^2 \leq 1[/tex]
Suy ra : [tex] (1 - x^2)(1 - y) \geq0 [/tex]
\Rightarrow [tex] 1 - y - x^2+x^2y \geq0 [/tex]
\Rightarrow[tex] 1+x^2y \geq x^2+y \geq x^3+y^3 [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

bạn ơi tại sao [TEX]x^2+y \geq x^3+y^3[/TEX] ------cần giải thik
_______________________________:D
 
T

tomorrowhero

Nữa nhá:
Cho các số x,y,z dương thỏa mãn x+y+z=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
gif.latex

:D
 
Last edited by a moderator:
0

0915549009

CM
[tex]\frac{a^2}{a+b}[/tex] >= [tex]\frac{3a-b}{4}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^2}{b+c}[/tex] >= [tex]\frac{3b-c}{4}[/tex]
[tex]\frac{c^2}{c+a}[/tex] >= [tex]\frac{3c-a}{4}[/tex]
Cộng vế vs vế của 3 BĐT, ta đc:
a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) >= (a+b+c)/2
Suy ra: a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) >= 1/2
Dấu = xảy ra khj và chỉ khj a=b=c
 
Last edited by a moderator:
T

tomorrowhero

0915549009 said:
CM
[tex]\frac{a^2}{a+b}[/tex] >= [tex]\frac{3a-b}{4}[/tex]
Tương tự: [tex]\frac{b^2}{b+c}[/tex] >= [tex]\frac{3b-c}{4}[/tex]
[tex]\frac{c^2}{c+a}[/tex] >= [tex]\frac{3c-a}{4}[/tex]
Cộng vế vs vế của 3 BĐT, ta đc:
a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) >= (a+b+c)/2
Suy ra: a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a) >= 1/2
Dấu = xảy ra khj và chỉ khj a=b=c
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Hình như bạn nhầm thì phải
Đề bài là
gif.latex

ko phải là
[TEX]\frac{ x ^ 2}{x +y}+ \frac{ y ^ 2}{y + z}+ \frac{ z ^ 2}{z + x } [/TEX]
 
T

trydan

Bài này tương đối đơn giản:);). Ta có bất đẳng thức quen thuộc: [TEX] \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX] với [TEX]x, y, z>0[/TEX]
mà [TEX]x+y+z=1 [/TEX] nên ta có:
[TEX](x+y+z) \big( \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \big) \geq \frac{3}{2} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+x+\frac{y^2}{x+z}+y+\frac{z^2}{x+y}+z \geq \frac{3}{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{3}{2} -(x+y+z) [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y} \geq \frac{3}{2} -1=\frac{1}{2}[/TEX]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức [TEX]\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}[/TEX] là [TEX]\frac{1}{2}[/TEX] khi [TEX]x=y=z=\frac{1}{3} [/TEX]


______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự.

 
Last edited by a moderator:
0

01263812493

trydan said:
Bài này tương đối đơn giản:);). Ta có bất đẳng thức quen thuộc: [TEX] \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}[/TEX] với [TEX]x, y, z>0[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

ai chứng minh dc BĐT này hok . BĐT nesbit ấy
còn bài này tương tự nữa, mọi ng` C/m xem : :D

[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}[/TEX] với x,y,z \geq 0 và x,y,z \leq 3
 
M

miko_tinhnghich_dangyeu

01263812493 said:
ai chứng minh dc BĐT này hok . BĐT nesbit ấy
còn bài này tương tự nữa, mọi ng` C/m xem : :D

[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{3}{2}[/TEX] với x,y,z \geq 0 và x,y,z \leq 3
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[TEX]\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \geq \frac{9}{3+x+y+z}[/TEX]
do[TEX]x,y,z \leq 3[/TEX]
[TEX]\Rightarro[/TEX] đpcm
 
0

01263812493

mình chưa học kí hiệu [tex] \sum [/tex] kí hiệu này là tính tổng phải hok

với lại bạn giải ra zùm mình thử coi ----------- thanks nhiu`
______________________________:D
 
T

tomorrowhero

01263812493 said:
ai chứng minh dc BĐT này hok . BĐT nesbit ấy
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

dựa vào[TEX] \left(a+b+c)(( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}\) \geq 9[/TEX] vs a, b,c dương , ta có

[TEX] 2\left( x+y +z\right)\left( \frac{ 1}{x+y} + \frac{ 1}{y+z}+ \frac{ 1}{x+z}\right) \geq 9[/TEX]

[TEX]\Rightarrow 3 + \frac{ x}{y+z} + \frac{ y}{x+z}+ \frac{ z}{x+y} \geq \frac{9}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow[/TEX] đpcm
 
0

0915549009

CM BĐT Nasơbit nè:
Đặt vế trái của BĐT là A. Ta có:
A+3= (a+b+c)(1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c))
Đặt u=a+b, v=a+c, t=b+c, ta có:
A+3= 1/2 (u+v+t)(1/u+1/v+1/t)
Mà B= (u+v+t)(1/u+1/t+1/v)
= 3 + (v/u+u/v)+(t/v+v/t)+(u/t+t/u)
Áp dụng BĐT cô-si ta đc B [tex] >= [/tex] 9. Từ đó suy ra A [tex] >= [/tex] [tex]\frac{3}{2}[/tex]
Dấu = xảy ra khj và chỉ khj a=b=c
 
Last edited by a moderator:
You must log in or register to reply here.
Top Bottom