[Toán 8] Bất đẳng thức côsi và bunhiacopxki

[nhoc_bi96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mình học lớp nâng cao toán lý hóa anh văn nhưng hôm có tiết toán mình nghỉ thấy dạy về 2 BĐT này, mình chỉ biết công thức của nó là:

BĐT Côsi : ( áp dụng cho số nguyên dương)
[TEX] \frac{(x+y}{2} \geq \sqrt{x.y}[/TEX]
BĐT bunhia copxki: (áp dụng 6 số 1,1,1,a,b,c)

[TEX](1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) \geq (1.a+1.b+1.c)^2[/TEX]


Mình chỉ biết như thế, ai có thễ giải thích cặn kẽ hơn giùm mình được ko??

Chú ý latex

 

[bigbang195]

Click here .

 

[nhoc_bi96]

Click here .

Tìm òy mà kok ra trang web nào giải thích hết, ai có thể giải thích cho mình đc hum za

 

[trydan]

Bất đẳng thức Cauchy thì chứng minh dễ rồi:
[TEX](a+b)^2 -4ab = a^2-2ab + b^2 =(a-b)^2\geq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}\Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt {ab}[/TEX] (đpcm)
Còn bất đẳng thức Bunhiacopxki ([TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX] )thì chứng minh như sau:
[TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2x^2+2axby + b^2y^2\leq a^2x^2+ a^2y^2 +b^2x^2+ b^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2axby\leq a^2y^2 + b^2x^2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(ay-bx)^2\geq 0[/TEX] (đpcm)
Đối với lớp 8 thì bất đẳng thức Bunhiacopxki không được ứng dụng nhiều lắm. Chủ yếu là dùng bất đẳng thức Cauchy.



______________________________________________________________
Đừng háo thắng mà không đi xa được , việc học cũng giống như chạy marathon 42 km, phải biết giữ sức, những cây số đầu không mấy quan trọng, không học nhồi học nhét, không ham ánh hào quang hão huyền, làm sao để càng về sau càng khổng lồ, đó mới là kết quả thật sự

 

[dat30412]

Bất đẳng thức Cauchy thì chứng minh dễ rồi:
[TEX](a+b)^2 -4ab = a^2-2ab + b^2 =(a-b)^2\geq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}\Rightarrow \frac{a+b}{2}\geq \sqrt {ab}[/TEX] (đpcm)
Còn bất đẳng thức Bunhiacopxki ([TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX] )thì chứng minh như sau:
[TEX](ax+by)^2\leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2x^2+2axby + b^2y^2\leq a^2x^2+ a^2y^2 +b^2x^2+ b^2y^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2axby\leq a^2y^2 + b^2x^2 [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow(ay-bx)^2\geq 0[/TEX] (đpcm)
Đối với lớp 8 thì bất đẳng thức Bunhiacopxki không được ứng dụng nhiều lắm. Chủ yếu là dùng bất đẳng thức Cauchy.

Bạn "trydan" có chỗ chưa hợp lý vì từ [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}[/TEX] là sai. Phải là [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Leftrightarrow \| \ a+b \| \ \geq 2\sqrt {ab}[/TEX]. Chẳng qua trong bất đẳng thức Cauchy thì người ta có nói các số a,b là các số nguyên dương nên [TEX]\| \ a+b \| \[/TEX] = a+b đấy

 

[vodichhocmai]

Bạn "trydan" có chỗ chưa hợp lý vì từ [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}[/TEX] là sai. Phải là [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Leftrightarrow \| \ a+b \| \ \geq 2\sqrt {ab}[/TEX]. Chẳng qua trong bất đẳng thức Cauchy thì người ta có nói các số a,b là các số nguyên dương nên [TEX]\| \ a+b \| \[/TEX] = a+b đấy

Và hiển nhiên một điều là bạn cũng sai luôn [TEX]\ \ [/TEX] Vì sao ?

 

[muathu1111]

Ai chà :Cosi nè:
[TEX]\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1.a_2.+...+a_n}[/TEX]
Bu-nhi-a-cốp-xki:
[TEX]({a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2)\geq(a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n)^2[/TEX]
Cosi ak`:áp dụng quy nạp để CM: chắc ai cũng biết làm
Bu-nhi-a-cốp-xki:
Đặt[TEX] A= {a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2, B={b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2, C= a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n[/TEX]
Cần CM:[TEX]AB\geq C^2[/TEX]
Nếu A=0 hoặc B=0 thì BĐT đc CM
Với [TEX]A,B[/TEX] khác 0
Với [TEX]\forall x[/TEX] ta có:
[TEX](a_1x-b_1)^2\geq0\geq{a_1}^2x^2-2a_1b_1x+{b_1}^2\geq0[/TEX]
[TEX](a_2x-b_2)^2\geq0\geq{a_2}^2x^2-2a_2b_2x+{b_2}^2\geq0[/TEX]
...
[TEX](a_nx-b_n)^2\geq0\geq{a_n}^2x^2-2a_nb_nx+{b_n}^2\geq0[/TEX]
Cộng từng vế n BĐT trên đc:
[TEX]Ax^2-2Cx+B\geq0 (1) [/TEX]
Vì [TEX](1)[/TEX] đúng [TEX]\forall x[/TEX] nên thay [TEX]x=\frac{C}{A}[/TEX] vào [TEX](1)[/TEX] ta đc:
[TEX]A.\frac{C^2}{A^2}-2.\frac{C^2}{A}+B\geq 0 \Rightarrow B-\frac{C^2}{A}\geq 0 \Rightarrow AB-C^2\geq 0\Rightarrow AB\geq C^2[/TEX]
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi [TEX]a_1x=b_1,...,a_nx=b_n[/TEX]

CM cosi với 2 số ko âm nè:
[TEX](a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow(a+b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow a+b \geq 2.\sqrt{ab}[/TEX]

 

[ladykillah]

Và hiển nhiên một điều là bạn cũng sai luôn [TEX]\ \ [/TEX] Vì sao ?

Sao lại sai ???
Sai thế nào :|
Giải thích dùm em với

 

[milu_cochuong_310305]

thì a, b nguyên dương rồi chứ sao
a,b nguyên dương thì |a+b| = a+b

 

[tai37949211]

híc thấy tủi cho tụi anh quá! anh năm nay học lớp 12 mà đến h cũng biết sơ sơ, cũng k bít là lớp 8 có học 2 bất đẳng thức này, h đi luyện thi mới dc học@@ chán

 

[vansang02121998]

Mấy bạn đều chưa giải thích rõ được điều kiện \geq 0 của Cauchy

Lại có

Thay

vào, ta có

Làm thế này thì mới rõ được điều kiện của bất đẳng thức

 

[nguyentu94]

Bạn "trydan" có chỗ chưa hợp lý vì từ [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Rightarrow a+b \geq \sqrt {4ab}[/TEX] là sai. Phải là [TEX](a+b)^2\geq 4ab \Leftrightarrow \| \ a+b \| \ \geq 2\sqrt {ab}[/TEX]. Chẳng qua trong bất đẳng thức Cauchy thì người ta có nói các số a,b là các số nguyên dương nên [TEX]\| \ a+b \| \[/TEX] = a+b đấy

có bất cập gì đâu...một điều đúng hiển nhiên thây bạn.........
______________________________________________________
______________________________________________________

 

[congnhatso1]

bất đẳng thức côsi và bunhiacopsky đều là các bDT về các số dương thôi
thực chất tên nó khác
- BDT côsi : tên của nó thực ra là BDT AM-GM
-bdt bunhia copsky : thực ra tên là BDT cauchy-schwarts

các bất đẳng thức này đều được viết dưới dạng nhiều số
các bdt mà bạn đưa ra chỉ là bdt ứng với 2 số để dễ vận dụng
muốn biết thêm thì lên google.com mà tìm

 

[daovuquang]

Thực ra BĐT Cauchy-Schwarz không cần số phải dương mới áp dụng được đâu.

 

[tienlvmklc]

bất đẳng thức cosi:
a^2+b^2\geq 2ab
\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\geq 0
\Leftrightarrow (a-b)^2\geq 0
điều này luôn đúng \Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab đúng

 

[coberacroi_kt]

Cho 1/ab +1/bc +1/ac=3.Chứng minh 1/a^3 +1/b^3 + 1/b^3 >=3"

 

[huuqui142]

-BĐTCÔsi(nhà toán học người Pháp) có tên gọi chính xác là "BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân"(viết tắt Tiếng Anh là AM-GM(arithmetic mean-geometric mean)).Cách gọi tên "BĐT Côsi" là ko chính xác, thật ra Côsi ko phải là người đề xướng ra BĐTnày mà chỉ là người đưa ra một cách chứng minh đặc sắc cho BĐT này. Dạng tổng quát của nó là:
$ \ dfrac{a1+a2+a3+…+an}{n} \geq \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
hay: $ a1+a2+a3+…+an \geqn \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
với n số :a1;a2;a3;…;an không âm(các số 1,2,.. sau chữ a là chỉ số, mình ko biết làm sau để viết thụt xuống, thông cảm nhe)
dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a1=a2=a3=…=an
BĐT bạn đưa ra là trường hợp n=2, đây là dạng thường gặp nhất.

-BĐT Bunhiacopxki(nhà toán học người Nga) do Côsi khởi xướng đầu tiên vào năm 1821, Bunhiacopxki(học trò của Côsi) là người mở rộng kết quả cho tích phân vào năm 1859, và đến năm 1885 nhà toán học người Đức là H.A.Schwarz dã chứng minh được kết quả tổng quát của BĐT này trong trường hợp không gian tích trong. do đó tên gọi chính xác của BĐT này là "BĐT Bunhiacopxki-Côsi -Schwarz", nhiều tài liệu còn gọi nó là BĐT Côsi .DẠng tổng quát của nó là:
với hai bộ số thực bất kì (a1;a2;a3;…;an) và(b1;b2;b3;…;bn), ta có
$ (a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+…+bn^2) \geq (a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)^2$
dấu dẳng thứcxay3 ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ai=kbi(i là chỉ số ,\foralli=1;2;3;...)
hay $ \frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}$với quy ước mẫu=0 thì tử cũng=0@-)
HAI BĐT THỨC NÀY LÀ HAI BĐT THỨC CỰC KÌ QUAN TRỌNG !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

 

[vuongchomo]

-BĐTCÔsi(nhà toán học người Pháp) có tên gọi chính xác là "BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân"(viết tắt Tiếng Anh là AM-GM(arithmetic mean-geometric mean)).Cách gọi tên "BĐT Côsi" là ko chính xác, thật ra Côsi ko phải là người đề xướng ra BĐTnày mà chỉ là người đưa ra một cách chứng minh đặc sắc cho BĐT này. Dạng tổng quát của nó là:
$ \ dfrac{a1+a2+a3+…+an}{n} \geq \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
hay: $ a1+a2+a3+…+an \geqn \sqrt[n]{ a1a2a3…an}$
với n số :a1;a2;a3;…;an không âm(các số 1,2,.. sau chữ a là chỉ số, mình ko biết làm sau để viết thụt xuống, thông cảm nhe)
dấu dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:a1=a2=a3=…=an
BĐT bạn đưa ra là trường hợp n=2, đây là dạng thường gặp nhất.

-BĐT Bunhiacopxki(nhà toán học người Nga) do Côsi khởi xướng đầu tiên vào năm 1821, Bunhiacopxki(học trò của Côsi) là người mở rộng kết quả cho tích phân vào năm 1859, và đến năm 1885 nhà toán học người Đức là H.A.Schwarz dã chứng minh được kết quả tổng quát của BĐT này trong trường hợp không gian tích trong. do đó tên gọi chính xác của BĐT này là "BĐT Bunhiacopxki-Côsi -Schwarz", nhiều tài liệu còn gọi nó là BĐT Côsi .DẠng tổng quát của nó là:
với hai bộ số thực bất kì (a1;a2;a3;…;an) và(b1;b2;b3;…;bn), ta có
$ (a1^2+a2^2+a3^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+b3^2+…+bn^2) \geq (a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)^2$
dấu dẳng thứcxay3 ra khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho ai=kbi(i là chỉ số ,\foralli=1;2;3;...)
hay $ \frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}$với quy ước mẫu=0 thì tử cũng=0@-)
HAI BĐT THỨC NÀY LÀ HAI BĐT THỨC CỰC KÌ QUAN TRỌNG !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Nói rõ ràng ra chút chứ có hỉu chj môk
Dù quan trọng hay răng nữa cũng có thấy hay dùng môk
^^ ^^

 

[hoangbnnx99]

Bất đẳng thức Cô-si
((a+b)/2)^2 lớn hơn hoặc bằng ab với a,b>=0
=> (a^2 + 2ab + b^2)/4 lớn hơn hoặc bằng ab
=> a^2 + 2ab + b^2 lớn hơn hoặc bằng 4ab
=> a^2 - 2ab+b^2 lớn hơn hoặc bằng 0
=> (a-b)^2 lớn hơn hoặc bằng 0 (luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi a=b

Bất đẳng thức BUNHIACOPXKI:
(ax+by)^2 nhỏ hơn hoặc = (a^2 +b^2)(x^2 +y^2)
=> a^2x^2 +2axby +b^2y^2 nhỏ hơn hoặc = a^2x^2 +b^2x^2 + b^2y^2
chuyển vế đổi dấu
=>a^2y^2 - 2axby+ b^2y^2 >= 0
=> (ay - bx)^2 >= 0
điều này luôn đúng nên...(kết luận ghi lại bất đẳng thức)
bđt xảy ra khi ax = by

 

[tranphuccm]

ui khổ nhỷ thế lúc anh lớp 8 người ta không dạy à****************************************************************************************************************??????????///