P
T
teddycute2011
mình năm nay mới lên lớp 9, bắt cm đẳng thức Cauchy mới xem lại. lớp 8 học cái Cauchy rùi nhưg cái bunhia copski thì mới nghe lần đầu!
T
tranduytrinh2000
Bất đẳng thức Cauchy áp dụng cho hai số không âm chứ không nhất thiết phải là số nguyên dương.
B
buidoi222
H
hoangtubongdem5
Bạn này gt hay thật, mình hiểu bđt Coxi rồi thks nhiều nhé
Các bạn có thể hox thêm ở đey. Click here
T
trang7604119@gmail.com
bất Đẳng thúc cô si
ai cho mjk hỏi bài này làm như thế nào với mình đang cần gấp : cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : a+b+c =1 tìm GTNN của P=\frac{a+b}{\sqrt[n]{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt[bc+a]{A}}+\frac{c+a}{\sqrt[n]{ca+b}}
ai cho mjk hỏi bài này làm như thế nào với mình đang cần gấp : cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : a+b+c =1 tìm GTNN của P=\frac{a+b}{\sqrt[n]{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt[bc+a]{A}}+\frac{c+a}{\sqrt[n]{ca+b}}
P
phamrong
R
rore
chuyen de 8 giup minh voi
1;cho a+b+c=0;chung minh rang:a^3+b^3+c^3=3abc
2;cho xy+yz+xz=0 va xyz#0 tinh gia tri cua bieu thuc M=yz/x^2+xz/y^2+xy/z^2
1;cho a+b+c=0;chung minh rang:a^3+b^3+c^3=3abc
2;cho xy+yz+xz=0 va xyz#0 tinh gia tri cua bieu thuc M=yz/x^2+xz/y^2+xy/z^2
V
vipboycodon
1. $a+b+c = 0$ => $a+b = -c$
$a^3+b^3+c^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3 = (-c)^3-3ab(-c)+c^3 = 3abc$
2. Áp dụng bài 1.
Bạn ơi đây là pic bất đẳng thức nhé không nên box vào khi nội dung không phù hợp.
$a^3+b^3+c^3 = (a+b)^3-3ab(a+b)+c^3 = (-c)^3-3ab(-c)+c^3 = 3abc$
2. Áp dụng bài 1.
Bạn ơi đây là pic bất đẳng thức nhé không nên box vào khi nội dung không phù hợp.
R
rinsuke
T
thaihoangnhan8a1
F
fat17121998
haizzzzzzz
Ai chà :Cosi nè:
\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1.a_2.+...+a_n}
Bu-nhi-a-cốp-xki:
({a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+...+ {b_n}^2)\geq(a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n)^2
Cosi ak`:áp dụng quy nạp để CM: chắc ai cũng biết làm
Bu-nhi-a-cốp-xki:
Đặt A= {a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2, B={b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2, C= <br />
a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n
Cần CM:AB\geq C^2
Nếu A=0 hoặc B=0 thì BĐT đc CM
Với A,B khác 0
Với \forall x ta có:
(a_1x-b_1)^2\geq0\geq{a_1}^2x^2-2a_1b_1x+{b_1}^2\geq0
(a_2x-b_2)^2\geq0\geq{a_2}^2x^2-2a_2b_2x+{b_2}^2\geq0
...
(a_nx-b_n)^2\geq0\geq{a_n}^2x^2-2a_nb_nx+{b_n}^2\geq0
Cộng từng vế n BĐT trên đc:
Ax^2-2Cx+B\geq0 (1)
Vì (1) đúng \forall x nên thay x=\frac{C}{A} vào (1) ta đc:
A.\frac{C^2}{A^2}-2.\frac{C^2}{A}+B\geq 0 \Rightarrow B-\frac{C^2}{A}\geq 0 \Rightarrow AB-C^2\geq 0\Rightarrow AB\geq C^2
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a_1x=b_1,...,a_nx=b_n
CM cosi với 2 số ko âm nè:
(a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow(a+b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow a+b \geq 2.\sqrt{ab}
__________________
Ai chà :Cosi nè:
\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1.a_2.+...+a_n}
Bu-nhi-a-cốp-xki:
({a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+...+ {b_n}^2)\geq(a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n)^2
Cosi ak`:áp dụng quy nạp để CM: chắc ai cũng biết làm
Bu-nhi-a-cốp-xki:
Đặt A= {a_1}^2+{a_2}^2+...+{a_n}^2, B={b_1}^2+{b_2}^2+...+{b_n}^2, C= <br />
a_1b_1+a_2+b_2+...+a_n+b_n
Cần CM:AB\geq C^2
Nếu A=0 hoặc B=0 thì BĐT đc CM
Với A,B khác 0
Với \forall x ta có:
(a_1x-b_1)^2\geq0\geq{a_1}^2x^2-2a_1b_1x+{b_1}^2\geq0
(a_2x-b_2)^2\geq0\geq{a_2}^2x^2-2a_2b_2x+{b_2}^2\geq0
...
(a_nx-b_n)^2\geq0\geq{a_n}^2x^2-2a_nb_nx+{b_n}^2\geq0
Cộng từng vế n BĐT trên đc:
Ax^2-2Cx+B\geq0 (1)
Vì (1) đúng \forall x nên thay x=\frac{C}{A} vào (1) ta đc:
A.\frac{C^2}{A^2}-2.\frac{C^2}{A}+B\geq 0 \Rightarrow B-\frac{C^2}{A}\geq 0 \Rightarrow AB-C^2\geq 0\Rightarrow AB\geq C^2
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a_1x=b_1,...,a_nx=b_n
CM cosi với 2 số ko âm nè:
(a-b)^2 \geq 0 \Leftrightarrow a^2+b^2-2ab \geq 0 \Leftrightarrow(a+b)^2 \geq 4ab \Leftrightarrow a+b \geq 2.\sqrt{ab}
__________________
H
huynhbachkhoa23
Lớp 8 không cho sử dụng tam thức bậc 2 nên cách chứng minh trên chả ai chấp nhận cả.
*Đầu tiên ta chứng minh AM-GM 2 số: $a+b\ge \sqrt{ab} \leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức trên:
$$\dfrac{a_i^2}{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}+\dfrac{b_i^2}{b_1^+b_2^2+...+b_n^2} \ge \dfrac{2|a_i.b_i|}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}}$$
Cho $i$ chạy từ $1$ đến $n$ ta được các bất đẳng thức là một tập (a) nào đó.
*Ta sẽ chứng minh $a\ge b$ và $c\ge d$ thì $a+c\ge b+d$
Bổ đề: Như đã biết thì tổng 2 số dương là một số dương
Giả sử $a\ge b$ và $b\ge c$ thì $a-c=(a-b)+(b-c) \ge 0$
Áp dụng vào $a+c\ge b+c$ và $b+c\ge b+d$, áp dụng bổ đề ta được $a+c\ge b+d$
* Cộng từng vế tương ứng tất cả trong tập (a) ta được:
$$1\ge \dfrac{|a_1.b_1|+|a_2.b_2|+...+|a_n.b_n|}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}}$$
Cuối cùng theo định nghĩa ta luôn có $|a|\ge a$ nên ta có điều phải chứng minh.
Hoàn tất chứng minh.
*Đầu tiên ta chứng minh AM-GM 2 số: $a+b\ge \sqrt{ab} \leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$
Áp dụng bất đẳng thức trên:
$$\dfrac{a_i^2}{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}+\dfrac{b_i^2}{b_1^+b_2^2+...+b_n^2} \ge \dfrac{2|a_i.b_i|}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}}$$
Cho $i$ chạy từ $1$ đến $n$ ta được các bất đẳng thức là một tập (a) nào đó.
*Ta sẽ chứng minh $a\ge b$ và $c\ge d$ thì $a+c\ge b+d$
Bổ đề: Như đã biết thì tổng 2 số dương là một số dương
Giả sử $a\ge b$ và $b\ge c$ thì $a-c=(a-b)+(b-c) \ge 0$
Áp dụng vào $a+c\ge b+c$ và $b+c\ge b+d$, áp dụng bổ đề ta được $a+c\ge b+d$
* Cộng từng vế tương ứng tất cả trong tập (a) ta được:
$$1\ge \dfrac{|a_1.b_1|+|a_2.b_2|+...+|a_n.b_n|}{\sqrt{(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+...+b_n^2)}}$$
Cuối cùng theo định nghĩa ta luôn có $|a|\ge a$ nên ta có điều phải chứng minh.
Hoàn tất chứng minh.