Toán 12[Tích phân]

[ctsp_a1k40sp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Let enjoy it
Prove that
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sin2x) sin xdx=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(cos 2x)cos x dx[/TEX]

 

[thong1990nd]

Giải
đặt x=[TEX]\frac{pi}{2}-t[/TEX] sẽ đc \int_{}^{}[TEX]f(sin2t)costdt[/TEX]=\int_{}^{}[TEX]f(sin2x)cosxdx[/TEX] cận từ 0 đến [TEX]\frac{pi}{2}[/TEX], sau đó lại đặt x=[TEX]\frac{pi}{4}[/TEX] -u sẽ đc \int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cos(\frac{pi}{4}-u)du [/TEX]cận từ -[TEX]\frac{pi}{4}[/TEX] đến [TEX]\frac{pi}{4}[/TEX]=\int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cos(\frac{pi}{4}-u)du[/TEX] cận từ -[TEX]\frac{pi}{4}[/TEX] đến 0 +\int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cos(\frac{pi}{4}-u)du [/TEX]cận từ 0 đến[TEX] \frac{pi}{4}[/TEX], sau đó xét J=\int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cos(\frac{pi}{4}-u)du [/TEX]cận từ -[TEX]\frac{pi}{4} [/TEX]đến 0 , đặt[TEX] y=-u[/TEX] sẽ ra \int_{}^{}[TEX]f(cos2y)cos(\frac{pi}{4}+y)dy [/TEX]cận từ 0 đến [TEX]\frac{pi}{4}[/TEX] =\int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cos(\frac{pi}{4}+u)du [/TEX](hàm chẵn)
rồi cộng 2 tích phân đó với nhau sẽ ra [TEX]\sqrt[]{2}[/TEX]\int_{}^{}[TEX]f(cos2u)cosudu[/TEX]=\int_{}^{}[TEX]f(cos2x)cosxdx [/TEX] cận từ 0 đến [TEX]\frac{pi}{4}[/TEX] (vì là hàm chẵn nên thay u bởi x)\Rightarrow (đpcm)@-)

 

[eternal_fire]

Let enjoy it
Prove that
[TEX]\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sin2x) sin xdx=\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(cos 2x)cos x dx[/TEX]

Đặt [TEX]\frac{\pi}{4}-x=u \to -dx=du[/TEX]
Suy ra: [TEX]I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(sin2x) sin xdx[/TEX]
[TEX]=\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}f(sin(\frac{\pi}{2}-2x))sin(\frac{\pi}{4}-x)-du[/TEX]
[TEX]=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}f(cos2u).\frac{1}{\sqrt{2}}(cosu-sinu)du[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}f(cos2u)cosudu-[/TEX]
[TEX]\frac{1}{\sqrt{2}} \int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}f(cos2u)sinudu[/TEX]
Ta có
[TEX]f(cos2u)cosudu[/TEX] là hàm chẵn;[TEX]f(cos2u)sinu du[/TEX] là hàm lẻ
[TEX]\to I=2.\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}f(cos2u)cosudu[/TEX]
đpcm