[Toán 12]Nguyên hàm của hàm vô tỉ.

Thảo luận trong 'Nguyên hàm và tích phân' bắt đầu bởi giangln.thanglong11a6, 18 Tháng hai 2009.

Lượt xem: 16,004

  1. [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn học. Click ngay để nhận!


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Ta có thể tìm nguyên hàm của hàm vô tỉ bằng 1 số cách đặt ẩn phụ thông dụng:

    1. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{a^2-x^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=asint[/TEX].

    2. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2+a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=atant[/TEX].

    3. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2-a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=\frac{a}{cost}[/TEX].

    Sau đây là 1 cách đặt ẩn phụ ít thấy, nhưng hữu ích với hầu hết dạng toán, và khá phù hợp cho các bài toán khó: Phương pháp đặt ẩn phụ Euler.

    1. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ nhất: Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}[/TEX] với a>0 thì ta đặt [TEX]{ax^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t[/TEX].


    VD1: Tính [TEX]I_1=\int \frac{dx}{2x+\sqrt{x^2+3}}[/TEX].

    Đặt [TEX]\sqrt{x^2+3}=t-x \Leftrightarrow x^2+3=t^2-2tx+x^2 \Leftrightarrow x=\frac{t^2-3}{2t}[/TEX]

    [TEX]\Leftrightarrow dx=\frac{t^2+3}{2t^2}dt[/TEX] và [TEX]2x+\sqrt{x^2+3}=\frac{3(t^2-1)}{2t}[/TEX].

    [TEX]I_1=\int \frac{t^2+3}{3t(t^2-1)}dt=\int \frac{4tdt}{3(t^2-1)}-\int \frac{dt}{t}=\frac23 ln(t^2-1)-lnt+C[/TEX]

    VD2:

    2. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ hai: Đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm \sqrt{c}[/TEX] nếu c>0.

    VD3: Tính [TEX]I_3=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-x-x^2}}[/TEX].

    Đặt [TEX]\sqrt{1-x-x^2}=xt-1 \Leftrightarrow 1-x-x^2=x^2t^2+1-2xt \Leftrightarrow x^2=\frac{2t-1}{t^2+1}x \Leftrightarrow x=\frac{2t-1}{t^2+1}[/TEX]

    [TEX]dx=\frac{-2(t^2-t-1)}{(t^2+1)^2}dt[/TEX] và [TEX]1+\sqrt{1-x-x^2}=xt=\frac{t(2t-1)}{t^2+1}[/TEX]

    [TEX]I_3=-2\int \frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}dt[/TEX]

    Tách [TEX]\frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}=\frac{1}{t}-\frac{2}{2t-1}+\frac{t}{t^2+1}[/TEX]

    Đến đây dễ dàng làm tiếp.

    3. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ ba: Giả sử [TEX]x_0[/TEX] là nghiệm của [TEX]ax^2+bx+c[/TEX]. Khi đó ta đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0)[/TEX]

    VD4: [TEX]I_4=\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx[/TEX]


    Kết thúc bài viết là 4 ví dụ cho các bạn:

    [TEX]I_5=\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1+x^2}}[/TEX]

    [TEX]I_6=\int \frac{xdx}{\sqrt{3-2x-x^2}}[/TEX]

    [TEX]I_7=\int \frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}[/TEX]

    [TEX]I_8=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}[/TEX]

    Bye!
     
    Last edited by a moderator: 18 Tháng tư 2009
  2. nhuphung010

    nhuphung010 Guest

    cảm ơn ban đã đưa ra các dạng này
    bạn có thể đưa ra nhiầu dạng khác nữa chứ: nguyên hàm của ham lượng giác .
     
  3. thanks nha nhung ban co the cho them cac dang khac dc ko
     
  4. cảm ơn bạn nhìu lắm nhưng mờ những cách abnj nêu ra đây đều đã có trong sách tích phân của thầy trần phương cả rùi
     
  5. hot_spring

    hot_spring Guest

    Bạn nào có những cách đặt ẩn phụ hay hơn thì nêu ra cho mọi người tham khảo. :)
     
  6. tlquyen87

    tlquyen87 Guest

    Riêng [TEX]I_5[/TEX], có một cách làm khá hay như sau
    Đặt [TEX]xt=\sqrt{1+x^2}[/TEX] \Rightarrow [TEX]x^2=\frac{1}{t^2-1}[/TEX]
    Ta có [TEX] xdx = -\frac{t}{(t^2-1)^2} [/TEX]
    \Rightarrow [TEX] \frac{dx}{xt} = -\frac{dt}{t^2+1} [/TEX].

    Thay tất cả vào nguyên hàm đầu, chỉ còn tìm
    [TEX] -\int{dt}[/TEX].
    Dạng tổng quát hơn được cho như sau

    [TEX] \int{\frac{dt}{(ax^2+b)^m\sqrt{Ax^2+B}}dx[/TEX]; m là số tự nhiên.

    Đối với bài

    [TEX] \int{\frac{dt}{x^2+x-(x+2)\sqrt{4+3x-x^2}}[/TEX]

    Nếu đặt [TEX] \sqrt{4+3x-x^2} = t(x+1) [/TEX], sẽ dẫn ra một nguyên hàm khó!

    Cách đặt [TEX] x+1=\frac{1}{t} [/TEX] tỏ ra hiệu quả hơn!
     
    Last edited by a moderator: 14 Tháng tư 2011
  7. hapiny

    hapiny Guest

    ai giảng dùm mình cái này Tách \frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}=\frac{1}{t}-\frac{2}{2t-1}+\frac{t}{t^2+1}
    câu I3 phần cuối
     
  8. lamtrang0708

    lamtrang0708 Guest

    do[tex] \frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}[/tex]=[tex]\frac{(2t-1)(t^2+1)- 2t(t^2+1) +t^2(2t-1))}{t(2t-1)(t^2+1)}[/tex]
     
    Last edited by a moderator: 2 Tháng năm 2011
  9. nhocmetruyen

    nhocmetruyen Guest

    Mình đang dùng pp euler của bạn đã nêu để giải tích phân.
    Mình thắc mắc là lỡ như cận của x chi co 1 nhưng khi đổi sang cận của t thì lại có dến 2 giá trị thì phải giải quyết như thế nào??
    vd: x=t^2-1 cận của x gồm x=0 và x=-1
     
  10. hot_spring

    hot_spring Guest

    Bạn đổi cận với t thành -1 và 1 thôi .
     
  11. mitkun

    mitkun Guest

    ôn gì không ôn đi ôn mấy cái này. thi cử còn lâu mý vào. tốn time lại tốn công sưk
     
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY