G
giangln.thanglong11a6
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Ta có thể tìm nguyên hàm của hàm vô tỉ bằng 1 số cách đặt ẩn phụ thông dụng:
1. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{a^2-x^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=asint[/TEX].
2. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2+a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=atant[/TEX].
3. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2-a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=\frac{a}{cost}[/TEX].
Sau đây là 1 cách đặt ẩn phụ ít thấy, nhưng hữu ích với hầu hết dạng toán, và khá phù hợp cho các bài toán khó: Phương pháp đặt ẩn phụ Euler.
1. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ nhất: Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}[/TEX] với a>0 thì ta đặt [TEX]{ax^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t[/TEX].
VD1: Tính [TEX]I_1=\int \frac{dx}{2x+\sqrt{x^2+3}}[/TEX].
Đặt [TEX]\sqrt{x^2+3}=t-x \Leftrightarrow x^2+3=t^2-2tx+x^2 \Leftrightarrow x=\frac{t^2-3}{2t}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow dx=\frac{t^2+3}{2t^2}dt[/TEX] và [TEX]2x+\sqrt{x^2+3}=\frac{3(t^2-1)}{2t}[/TEX].
[TEX]I_1=\int \frac{t^2+3}{3t(t^2-1)}dt=\int \frac{4tdt}{3(t^2-1)}-\int \frac{dt}{t}=\frac23 ln(t^2-1)-lnt+C[/TEX]
VD2:
2. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ hai: Đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm \sqrt{c}[/TEX] nếu c>0.
VD3: Tính [TEX]I_3=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-x-x^2}}[/TEX].
Đặt [TEX]\sqrt{1-x-x^2}=xt-1 \Leftrightarrow 1-x-x^2=x^2t^2+1-2xt \Leftrightarrow x^2=\frac{2t-1}{t^2+1}x \Leftrightarrow x=\frac{2t-1}{t^2+1}[/TEX]
[TEX]dx=\frac{-2(t^2-t-1)}{(t^2+1)^2}dt[/TEX] và [TEX]1+\sqrt{1-x-x^2}=xt=\frac{t(2t-1)}{t^2+1}[/TEX]
[TEX]I_3=-2\int \frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}dt[/TEX]
Tách [TEX]\frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}=\frac{1}{t}-\frac{2}{2t-1}+\frac{t}{t^2+1}[/TEX]
Đến đây dễ dàng làm tiếp.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ ba: Giả sử [TEX]x_0[/TEX] là nghiệm của [TEX]ax^2+bx+c[/TEX]. Khi đó ta đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0)[/TEX]
VD4: [TEX]I_4=\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx[/TEX]
Kết thúc bài viết là 4 ví dụ cho các bạn:
[TEX]I_5=\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1+x^2}}[/TEX]
[TEX]I_6=\int \frac{xdx}{\sqrt{3-2x-x^2}}[/TEX]
[TEX]I_7=\int \frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}[/TEX]
[TEX]I_8=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}[/TEX]
Bye!
1. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{a^2-x^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=asint[/TEX].
2. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2+a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=atant[/TEX].
3. Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{x^2-a^2}[/TEX] thì ta đặt [TEX]x=\frac{a}{cost}[/TEX].
Sau đây là 1 cách đặt ẩn phụ ít thấy, nhưng hữu ích với hầu hết dạng toán, và khá phù hợp cho các bài toán khó: Phương pháp đặt ẩn phụ Euler.
1. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ nhất: Nếu nguyên hàm cần tính có chứa [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}[/TEX] với a>0 thì ta đặt [TEX]{ax^2+bx+c}=\pm \sqrt{a}x+t[/TEX].
VD1: Tính [TEX]I_1=\int \frac{dx}{2x+\sqrt{x^2+3}}[/TEX].
Đặt [TEX]\sqrt{x^2+3}=t-x \Leftrightarrow x^2+3=t^2-2tx+x^2 \Leftrightarrow x=\frac{t^2-3}{2t}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow dx=\frac{t^2+3}{2t^2}dt[/TEX] và [TEX]2x+\sqrt{x^2+3}=\frac{3(t^2-1)}{2t}[/TEX].
[TEX]I_1=\int \frac{t^2+3}{3t(t^2-1)}dt=\int \frac{4tdt}{3(t^2-1)}-\int \frac{dt}{t}=\frac23 ln(t^2-1)-lnt+C[/TEX]
VD2:
1 bài làm để tham khảo
[TEX]\int 4x^2 \sqrt{x^2+4}dx[/TEX]
2. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ hai: Đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=tx\pm \sqrt{c}[/TEX] nếu c>0.
VD3: Tính [TEX]I_3=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-x-x^2}}[/TEX].
Đặt [TEX]\sqrt{1-x-x^2}=xt-1 \Leftrightarrow 1-x-x^2=x^2t^2+1-2xt \Leftrightarrow x^2=\frac{2t-1}{t^2+1}x \Leftrightarrow x=\frac{2t-1}{t^2+1}[/TEX]
[TEX]dx=\frac{-2(t^2-t-1)}{(t^2+1)^2}dt[/TEX] và [TEX]1+\sqrt{1-x-x^2}=xt=\frac{t(2t-1)}{t^2+1}[/TEX]
[TEX]I_3=-2\int \frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}dt[/TEX]
Tách [TEX]\frac{t^2-t-1}{t(2t-1)(t^2+1)}=\frac{1}{t}-\frac{2}{2t-1}+\frac{t}{t^2+1}[/TEX]
Đến đây dễ dàng làm tiếp.
3. Phương pháp đặt ẩn phụ Euler thứ ba: Giả sử [TEX]x_0[/TEX] là nghiệm của [TEX]ax^2+bx+c[/TEX]. Khi đó ta đặt [TEX]\sqrt{ax^2+bx+c}=t(x-x_0)[/TEX]
VD4: [TEX]I_4=\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx[/TEX]
Kết thúc bài viết là 4 ví dụ cho các bạn:
[TEX]I_5=\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{1+x^2}}[/TEX]
[TEX]I_6=\int \frac{xdx}{\sqrt{3-2x-x^2}}[/TEX]
[TEX]I_7=\int \frac{dx}{1+\sqrt{x^2+2x+2}}[/TEX]
[TEX]I_8=\int \frac{dx}{1+\sqrt{1-2x-x^2}}[/TEX]
Bye!
Last edited by a moderator: