[Toán 12] Cực trị hàm nhiều biến

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 3 số không âm $a,b,c$ có tổng là $3$.

Không dùng EMV, hãy chứng minh $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le 4$

 

[hoanghainam2907]

Mình không biết EMV là gì ?

Không mất tính tổng quát ,giả sử trong 3 số x,y,z thì x \leq y \leq z
\Rightarrow $y-x$ \geq $0$
$y-z$ \leq $0$
\Rightarrow $z(y-x)(y-z)$ \leq $0$
\Leftrightarrow $xz^2+zy^2-yz^2-xyz$ \leq $0$
\Leftrightarrow $xz^2+zy^2+yx^2$ \leq $yx^2+2xyz+yz^2=y(x+z)^2$ (1)
Ta có:
$y(x+z)^2=\frac{1}{2}2y(x+z)(x+z)$ \leq $1/2(\frac{2y+x+z+x+z}{3})^3=\frac{1}{2}8=4$ (Vì x+y+z = 3)(2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow $xz^2+zy^2+yx^2$ \leq $4$ (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$
Vậy:...

 

[huynhbachkhoa23]

Không mất tính tổng quát ,giả sử trong 3 số x,y,z thì x \leq y \leq z
\Rightarrow y-x \geq 0
y-z \leq 0
\Rightarrow z(y-x)(y-z) \leq 0
\Leftrightarrow x*z^2+z*y^2-y*z^2-xyz \leq 0
\Leftrightarrow x*z^2+z*y^2+y*x^2 \leq y*x^2+2xyz+y*z^2=y*(x+z)^2(1)
Ta có:
y*(x+z)^2=1/2*2y*(x+z)*(x+z) \leq 1/2*((2y+x+z+x+z)/3)^3=1/2*8=4 (Vì x+y+z=3)(2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow x*z^2+z*y^2+y*x^2 \leq 4 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
Vậy:...

Dùng EMV:

Biến đổi thành: $a^2b+b^2c+c^2a+abc \le \dfrac{4(a+b+c)^3}{27}$

Lấy đạo hàm toàn miền: $a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca) \le \dfrac{4(a+b+c)^2}{3}$

$\leftrightarrow ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}$

BDT trên đúng.

Theo nguyên lý EMV ta chỉ cần chứng minh với $c=0$ hoặc $a,b$ gì cũng được )

$a^2b \le 4$

Thay $b=3-a$: $a^2(3-a) \le 4$ với $a,b \in [0;3]$ ($a,b,c$ không âm)

Khảo sát thấy BDT trên đúng.

Vậy BDT được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $(a;b;c)=(0;1;2)$ và hoán vị.