[Toán 11] Tìm giới hạn $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(mx+1)^n-(nx+1)^m}{x^2}$

[o0ranangel0o]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giới hạn
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(mx+1)^n-(nx+1)^m}{x^2}$

 

[minhchi96]

bài này bạn áp dụng công thức [TEX]a^n - b^m = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b +...+ b^{m-1})[/TEX]
áp dụng vào bài ta có:
Tử số=[TEX](mx-nx)[ (mx+1)^{n-1} + (mx+1)^{n-2}(nx+1)+...+(mx+1)^{m-1}][/TEX]
đến đây bạn tự tính tiếp nha

 

[Love pt :'(]

Mk chưa bt lm nhưng bn sai r, chỗ a^n -b^m =(a-b)(.......) ý )

 

[iceghost]

Tìm giới hạn
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(mx+1)^n-(nx+1)^m}{x^2}$

Nếu $m, n$ là số thực hoặc âm thì mình chịu. Còn nếu $m, n$ nguyên dương thì xét $m, n \geqslant 2$ ($m, n < 3$ bạn tự xét)
Ta có $$(1+mx)^n = 1 + C^1_n mx + C^2_n m^2 x^2 + \sum_{k=3}^{n} C^k_n m^k x^k$$
$$(1 + nx)^m = 1 + C^1_m nx + C^2_m n^2 x^2 + \sum_{i=3}^m C^i_m n^i x^i$$
Trừ vế theo vế rồi chia cho $x^2$, để ý $C^1_n mx = mnx = C^1_m nx$ ta được
$$\dfrac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = C^2_n m^2 - C^2_m n^2 + \sum_{k=3}^n C^k_n m^k x^{k-2} - \sum_{i=3}^m C^i_m n^i x^{i-2}$$
$$\implies \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = C^2_n m^2 - C^2_m n^2 = \dfrac12 mn(n-m)$$

 

[Học Trò Của Sai Lầm]

Với [tex]x\neq 0[/tex], ta có:
[tex]\frac{(1+mx)^n-(1+nx)^m}{x^2}[/tex]
[tex]=\frac{\frac{n(n-1)}{2}m^2x^2-\frac{m(m-1)}{2}n^2x^2+x^3(p(x)-q(x))}{x^2}[/tex]
[tex]=\frac{mn(n-m)}{2}+x(p(x)-q(x))[/tex]
Lấy giới hạn [tex]x\rightarrow 0[/tex] ta được [tex]\frac{mn(n-m)}{2}[/tex]