Tìm giới hạn
$\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{(mx+1)^n-(nx+1)^m}{x^2}$
Nếu $m, n$ là số thực hoặc âm thì mình chịu. Còn nếu $m, n$ nguyên dương thì xét $m, n \geqslant 2$ ($m, n < 3$ bạn tự xét)
Ta có $$(1+mx)^n = 1 + C^1_n mx + C^2_n m^2 x^2 + \sum_{k=3}^{n} C^k_n m^k x^k$$
$$(1 + nx)^m = 1 + C^1_m nx + C^2_m n^2 x^2 + \sum_{i=3}^m C^i_m n^i x^i$$
Trừ vế theo vế rồi chia cho $x^2$, để ý $C^1_n mx = mnx = C^1_m nx$ ta được
$$\dfrac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = C^2_n m^2 - C^2_m n^2 + \sum_{k=3}^n C^k_n m^k x^{k-2} - \sum_{i=3}^m C^i_m n^i x^{i-2}$$
$$\implies \lim_{x \to 0} \dfrac{(1+mx)^n - (1+nx)^m}{x^2} = C^2_n m^2 - C^2_m n^2 = \dfrac12 mn(n-m)$$