Toán [toán 11]hướng dẫn giải tổ hợp ,xác xuất

[toilatot]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

GIẢI BÀI TỔ HỢP BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

Trong chương trình toán phổ thông, các bài toán đếm trong phần tổ hợp đối với hầu hết các học sinh đều cảm thấy khó khăn khi đi tìm lời giải. Về các bài toán đếm thường rất đa dạng. Trong bài viết này mình cố gắng phân loại một số dạng thường gặp trong chương trình nhằm giúp các em có phần tự tin hơn khi gặp các bài toán đếm.r15


bản thân mình ban đầu học cũng không hiểu lắm nhưng sau làm bài tập nâng cao thì tự hiểu -kể cũng hay hazzzz

 

[toilatot]

A. Sử dụng Phương pháp trực tiếp

Dạng 1. Đếm số tập con của một tập hợp

Cho tập X là hợp của n tập rời nhau A1,A2,A3,A4,....An Hỏi có bao nhiêu cách chọn k phần tử trong tập hợp X thoả mãn điều kiện nào đó?

Thường các dạng bài toán này phải chia ra nhiều trường hợp. Để tránh việc học sinh có thể bỏ sót trường hợp thì có thể dùng hệ phương trình. Ta sẽ làm quen với phương pháp này qua các ví dụ.

Ví dụ 1. (Đề thi Đại học khối B - 2004)

Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi có thể lập được bao nhiêu đề thi, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?.

Giải

Gọi x, y, z lần lượt là số câu hỏi khó, trung bình, dễ được chọn.

Theo đề bài ta có hệ [tex]\left\{\begin{matrix} x+y+z=5 & & \\ 0< x\leq 5,0< y\leq 10,2\leq z\leq 15 & & \end{matrix}\right.[/tex]

Giải hệ ta có nghiệm (2; 1;2); (1; 2; 2); (1; 1; 3).

Với (x; y; z) =(2; 1; 2) ta có [tex]C_{5}^{2}.C_{10}^{1}.C_{15}^{2}[/tex] cách.

Với (x; y; z) =(1; 2; 2) ta có [tex]C_{5}^{1}.C_{10}^{2}.C_{15}^{2}[/tex] cách.

Với (x; y; z) =(1; 1; 3) ta có [tex]C_{5}^{1}.C_{10}^{2}.C_{15}^{3}[/tex] cách.

Vậy có tất cả[tex]C_{5}^{2}.C_{10}^{1}.C_{15}^{2}[/tex] +[tex]C_{5}^{1}.C_{10}^{2}.C_{15}^{2}[/tex] + [tex]C_{5}^{1}.C_{10}^{2}.C_{15}^{3}[/tex] cách.

Ví dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng cơ khí luyện kim - 2005)

Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ, 4 nhà vật lí nam. Cần lập 1 đoàn công tác 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách lập đoàn công tác?

Giải

Gọi x, y, z lần lượt là số nhà toán học nam, số nhà toán học nữ, số nhà vật lí nam được chọn.

Theo đề bài ta có hệ[tex]\left\{\begin{matrix} x+y+z=3 & & \\ y,z> 0& & \end{matrix}\right.[/tex]

Giải hệ ta có nghiệm (0; 1; 2), (0; 2; 1), (1; 1; 1).

Vậy kết quả là có [tex]C_{4}^{1}.C_{3}^{2}[/tex] +[tex]C_{4}^{2}.C_{3}^{1}[/tex] +[tex]C_{5}^{4}.C_{4}^{1}.C_{3}^{1}[/tex] cách chọn.


BÀI TẬP
Bài 1. Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó
a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.

b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.

Bài 3. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.

 

[toilatot]

Bài 1. Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó
a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.

b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

• tóm tắt

6 vàng ,4 trắng ,5 đỏ
y/c chọn ra 7 bông

• Hướng dẫn cách suy luận :

a/ đề yêu cầu ''số bông hoa màu trắng không ít hơn 3 ''tức chỉ có thể là 3 và 4
+th1 :3 trắng ,1 vàng ,3 đỏ
+th2 :3trắng ,3 vàng ,1 đỏ
+th3 :4 trắng ,2 vàng ,1 đỏ
+th4 :4 trắng ,1 vàng ,2 đỏ
b/đề y/c ''Có ít nhất '' tức là chỉ có thể có như vậy hoặc nhỏ hơn và có thể bằng 0
tương tự như câu a

Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.

Bài 3. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.
(làm tương tự )
mình xin cung cấp 1 số công cụ cho các team ngất ngưởng đây
tại đây
htt

 

[toilatot]

Dạng 2. Bài toán sắp xếp các phần tử

• Bài toán 1. Cho A là một tập gồm n phần tử, B là tập gồm m vị trí khác nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử của A vào các phần tử của B thoả mãn điều kiện nào đó.

• Phương Pháp: Ta kiểm tra xem trong hai tập A và B tập nào có ít phần tử hơn thì các phần tử của tập đó được chọn phần tử của tập còn lại.

Ví dụ 3. (BT3 SGK/54 cơ bản11 ). Giả sử có 7 bông hoa khác màu và 3 lọ hoa khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ (mỗi lọ một bông).
Giải.
Tập A gồm 7 phần tử,
Tập B gồm 3 phần tử.
=> các phần tử của B sẽ chọn các phần tử của A.

=>Ta xem A gồm 7 vị trí tương ứng với 7 phần tử.

Lấy lọ thứ nhất chọn một vị trí trong 7 vị trí có 7 cách chọn

Lấy lọ thứ hai chọn một vị trí trong 6 vị trí còn lại có 6 cách chọn

Lấy lọ thứ ba chọn một vị trí trong 5 vị trí còn lại có 5 cách chọn.

Vậy có 5.6.7=210 cách cắm 3 bông hoa vào 3 lọ.

Ví dụ 4. (BT5.a SGK/55 cơ bản 11 ). Bạn đọc tự giải

Ví dụ 5. Cho A = {1; 2; 3; 4; 5}. Từ tập A lập được bao nhiêu số:

a. Có 6 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 2 lần, các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần.

b. Có 7 chữ số sao cho trong mỗi số đó số 1 xuất hiện 4 lần số 2 xuất hiện 2 lần các số khác xuất hiện nhiều nhất 1 lần

Giải:

a. Xét tập B gồm 6 vị trí (bạn vẽ ra nháp nhen)
Tập A gồm 5 phần tử, Tập B gồm 6 phần tử.
Như vậy các phần tử của A sẽ chọn các phần tử của B.

- Đặt số 5 vào 1 trong 6 vị trí có 6 cách

- Đặt số 4 vào 1 trong 5 vị trí còn lại có 5 cách

- Đặt số 3 vào 1 trong 4 vị trí còn lại có 4 cách

- Đặt số 2 vào 1 trong 3 vị trí còn lại có 3 cách

- Đặt 2 số 1 vào 2 vị trí còn lại có 1 cách

Vậy có 6.5.4.5 = 600 số.

b. Tập B gồm 7 vị trí

- Đặt 3 số 1: Chọn 3 vị trí trong 7 vị trí có [tex]C_{7}^{3}[/tex] cách.

- Đặt 2 số 2: Chọn 2 vị trí trong 4 vị trí còn lại có [tex]C_{4}^{2}[/tex] cách. Như vậy còn lại 2 ô và 3 số 3, 4, 5. Lúc này lấy ô để chọn số (ô ít hơn số)

- Ô còn lại thứ nhất có 3 cách chọn số

- Ô còn lại thứ 2 có 2 các chon số.

Vậy có [tex]C_{7}^{3}[/tex] .[tex]C_{4}^{2}[/tex] .3.2 số.

Bài toán 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử trong đó có hai hoặc nhiều phần tử không đứng cạnh nhau.

Phương pháp: Trước hết sắp xếp các phần tử còn lại và xem như mỗi phần tử là một vách ngăn, các vách ngăn đó sẽ tạo thành các vị trí. Sắp xếp các phần tử kia vào các vị trí mới tạo thành.

Ví dụ 6. (BT2.3b SBT/62 cơ bản). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho A và Bình không ngồi cạnh nhau.

Giải.

Trước hết xếp 8 bạn còn lại vào 8 vị trí có 8! cách. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 9 vị trí. Xếp An và Bình vào 9 vị trí có [tex]A_{9}^{2}[/tex] cách.

Vậy có 8!.[tex]A_{9}^{2}[/tex]cách sắp xếp.

Ví dụ 7. (BT 2.14 SBT/63 cơ bản 11). Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có 2 bạn nữ nào ngồi cạnh nhau nếu

a. Ghế sắp thành hàng ngang

b. Ghế sắp quanh một bàn tròn.

Giải

a. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vị trí có 6! cách sắp xếp. Xem mỗi bạn là một vách ngăn tạo thành 7 vị trí. Xếp 4 bạn vào 7 vị trí có [tex]A_{7}^{4}[/tex]cách. Vậy có 6!.[tex]A_{7}^{4}[/tex]cách

b. Trước hết xếp 6 bạn nam vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 4 bạn nữ vào 6 vị trí có [tex]A_{6}^{4}[/tex] cách.

Vậy có 5!.[tex]A_{6}^{4}[/tex] cách sắp xếp.


Ví dụ 8. Có 6 bạn nữ và 3 bạn nam xếp thành 1 vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho không có hai bạn nam nào đứng cạnh nhau.

Giải:

Trước hết xếp 6 bạn nữ vào vòng tròn có 5! cách. Xem mỗi bạn nữ là một vách ngăn tạo thành 6 vị trí. Xếp 3 bạn nam vào 3 vị trí có[tex]A_{6}^{3}[/tex] cách.

Vậy có 5!.[tex]A_{6}^{3}[/tex] cách sắp xếp.

Chú Ý.

- Sắp xếp n ptử vào n vị trí tạo thành một vòng tròn có (n-1)! cách. Đây là hoán vị vòng quanh

- Khi xếp n phần tử thành 1 dãy và xem mỗi phần tử là một vách ngăn thì sẽ tạo thành n+1 vị trí nhưng nếu xếp thành vòng tròn thì sẽ tạo thành n vị trí
Bài toán 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp các phần tử trong đó có hai hoặc nhiều phần tử đứng cạnh nhau.

• Phương pháp: Ghép các phần tử đứng cạnh nhau và xem như một phần tử

Ví dụ 9. Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau.

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

Ví dụ 9. Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau.

3!.5!.7! phải ko?

 

[toilatot]

3!.5!.7! phải ko?

trước khi đưa ra tiếp lời giải bạn có thể trình bày ra để mình soát lỗi sai không
vì kết quả sai nhé

 

[toilatot]

Ví dụ 9. Có 6 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lý và 5 quyển sách Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách đó thành 1 dãy trên kệ sao cho các quyển sách Hoá đứng cạnh nhau, các quyển sách Lý đứng cạnh nhau.
Giải
Ta ghép các quyển sách hoá lại xem như 1 phần tử H

ghép các quyển sách Lý lại xem như 1 phần tử L.

Khi đó xếp 8 phần tử (gồm 6 quyển sách toán và 2 phần tử H và L) có 8! Cách sắp xếp.

Ghép 5 quyển sách hoá có 5! cách.
Ghép 3 quyển sách Lý có 3! Cách.
=>Theo quy tắc nhân có 5!.3!.8! cách.

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

trước khi đưa ra tiếp lời giải bạn có thể trình bày ra để mình soát lỗi sai không
vì kết quả sai nhé

ak nhầm. 3!5!8!

 

[toilatot]

Ví dụ 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

2!.9!

Ví dụ 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.

 

[toilatot]

2!.9!

p/s bạn có thể giải rõ bước làm xíu nhé bạn

Ví dụ 10. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 bạn , trong đó có An, Bình vào 10 ghế kê thành hang ngang sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau.
Giải.
Ghép An và Bình thành một phần tử M có 2! cách. Xếp 9 phần tử(gồm 8 bạn còn lại và phần tử M) vào 9 vị trí có 9! Cách. Vậy theo quy tắc nhân có 2!.9! cách.
Nhận xét.


Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng Ví dụ 6 như sau:

Sắp xếp 10 bạn thành 1 dãy có 10! Cách. Theo VD có 8!.9A2 cách xếp sao cho hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau. Do đó có 10!- 8!.9A2cách sắp xếp sao cho An và Bình ngồi cạnh nhau. Tuy nhiên đối với bài toán yêu cầu có nhiều hơn hai phần tử cạnh nhau (hay không cạnh nhau) thì với cách làm này là khá phức tạp.
=>Vì vậy ta chỉ nên dùng cách này trong trường hợp bài toán yêu cầu có 2 ptử cạnh nhau (hoặc không cạnh nhau). Phương pháp trên được gọi là phương pháp gián tiếp.
B. Phương Pháp gián tiếp.

Phương pháp này dựa trên nguyên lý “Đếm những cái không cần đếm để biết những cái cần đếm”. Theo lý thuyết tập hợp thì phương pháp này thực chất là phép lấy phần bù.

Thường phương pháp này được dùng trong những bài toán mà chúng ta khi đếm phải chia ra nhiều trường hợp hơn khi đếm “phần bù của nó”.

Ví dụ11. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D - 2006).

Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp T, 4 học sinh lớp L và 3 học sinh lớp H. Cần chọn ra 4 học sinh tham gia trực tuần sao cho 4 học sinh đó thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Gọi A là tập tất cả các cách chọn 4 học sinh trong 12 học sinh.

Gọi B là tập hợp tất cả các cách chọn không thoả mãn yêu cầu bài toán.

Gọi C là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.

Ta có A=[tex]B\upsilon C[/tex] ,[tex]B\cap C=\Theta[/tex] . Theo quy tắc cộng ta có |A|=|B|+|C| hay |C|=|A|-|B|

Dễ thấy |A|=.[tex]C_{15}^{4}[/tex]

*Ta tính |B|
có nghiệm (1; 1; 2); (1; 2; 1); (2;1; 1).(hệ nhen)
Vậy B=[tex]C_{5}^{1}[/tex][tex]C_{4}^{1}[/tex][tex]C_{3}^{2}[/tex]+[tex]C_{5}^{2}[/tex]
Do đó
|C|=....
Ví dụ 12. (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng sư phạm Hà Nội - 2005)

Trong một tổ học sinh của lớp 12 A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

Ví dụ 12. (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng sư phạm Hà Nội - 2005)

Trong một tổ học sinh của lớp 12 A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn

Số cách chọn 3 từ 12 hs là: [tex]C_{12}^{3}[/tex]
Số cách chọn 3 nữ từ 4 nữ là: [tex]C_{4}^{3}[/tex]
Vậy số cách chọn 3 hs sao cho có ít nhất 1 hs nam là [tex]C_{12}^{3}[/tex]-[tex]C_{4}^{3}[/tex]

 

[toilatot]

Số cách chọn 3 từ 12 hs là: [tex]C_{12}^{3}[/tex]
Số cách chọn 3 nữ từ 4 nữ là: [tex]C_{4}^{3}[/tex]
Vậy số cách chọn 3 hs sao cho có ít nhất 1 hs nam là [tex]C_{12}^{3}[/tex]-[tex]C_{4}^{3}[/tex]

bạn học thật giỏi
Ví dụ 12. (Đề thi tuyển sinh Cao đẳng sư phạm Hà Nội - 2005)

Trong một tổ học sinh của lớp 12 A có 8 nam và 4 nữ. Thầy giáo muốn chọn ra 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất một học sinh nam. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách chọn.

Giải

Gọi A là tập tất cả các cách chọn 3 học sinh trong 12 học sinh.

Gọi B là tập hợp tất cả các cách chọn 3 học sinh nữ.

Gọi C là tập hợp tất cả các cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.

Như VD11 ta có |C|=|A|-|B|.

Mặt khác dễ thấy |A|=[tex]C_{12}^{3}[/tex] |B|=[tex]C_{4}^{3}[/tex]nên |C|=[tex]C_{12}^{3}[/tex]-[tex]C_{4}^{3}[/tex]=216

Vâỵ có 216 cách chọn thoả mãn yêu cầu bài toán.
----------------------vậy là đã hết dạng bài tập về phần này nhé -----------------------------------------the end---------------------

 

[toilatot]

MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó

a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.

b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.

Bài 3. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.

Bài 4. Từ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vó thể lập được bao nhieu số gồm 6 chữ số khác nhau và tồng các chứ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị bằng 9

Bài 5. (Cao đẳng khối A - 2004). Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp. Có bao nhiêu cách chọn 3 em trong lớp để trực tuần sao cho 3 em đó luôn có cán bộ lớp.

Bài 6. Một trường tiểu học có 40 em là học sinh giỏi, trong đó có 4 cặp sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 em để dj trại hè. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mà không có cặp sinh đôi nào.

Bài 7. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó gồm 6 nam và 9 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách thành lập một nhóm đồng ca gồm 7 người sao cho có ít nhất 2 nữ.

Bài 8. Từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số mà chữ số 3 và 4 đứng canh nhau.

Bài 9. Từ một hộp đựng 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn số bi lấy ra không đủ cả 3 màu.

Bài 10. Cho đa giác lồi 15 đỉnh. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và cạnh không phải là cạnh của đa giác

Bài 11. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và hai chữ số này đứng cạnh nhau.

Bài 12. Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách toán, 4 cuốn sách vật lí và 3 cuốn sách hoá học. Lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh, mỗi học sinh một cuốn sao cho khi tặng xong mỗi thể loại còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách tặng. trên đây là 1 số dạng bài tập rèn luyện các bạn tham khảo ,có vấn đề gì thì hỏi nhé............ chúc các bạn học tập tốt

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

Bài 1. Từ 6 bông hoa màu vàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó

a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.

b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

a. Số cách chọn 3 bông có đủ 3 màu: [tex]C_{6}^{1}[/tex].[tex]C_{4}^{1}[/tex].[tex]C_{5}^{1}[/tex]
Số cách chọn 4 bông còn lại sao cho số bông trắng không ít hơn 3 là:
+ có 3 bông trắng: [tex]C_{3}^{2}[/tex].[tex]C_{9}^{1}[/tex]
+ Có 4 bông trắng: [tex]C_{3}^{3}[/tex]
Vậy có tất cả số cách chọn thoả ycbt là: [tex]C_{6}^{1}[/tex].[tex]C_{4}^{1}[/tex].[tex]C_{5}^{1}[/tex].([tex]C_{3}^{2}[/tex].[tex]C_{9}^{1}[/tex]+ [tex]C_{3}^{3}[/tex])
b. Số cách chọn 7 bông từ 15 bông là: [tex]C_{15}^{7}[/tex]
+Số cách chọn 1 vàng, 2 đỏ , 4 trắng: [tex]C_{6}^{1}[/tex].[tex]C_{5}^{2}[/tex].[tex]C_{4}^{4}[/tex]
=> Số cách chọn 7 bông trong đó có ít nhất 2 vàng, 3 đỏ là: [tex]C_{15}^{7}[/tex]-[tex]C_{6}^{1}[/tex].[tex]C_{5}^{2}[/tex].[tex]C_{4}^{4}[/tex]
Hoang mang quá

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.

Cái này chọn bn cây nhỉ?

 

[vannguyenthicamvan821@gmail.com]

Bài 3. Một đội văn nghệ có 15 người trong đó có 10 nam và 5 nữ. hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ.

Gọi x,y lần lượt là số nam, nữ được chọn
[tex]\left\{\begin{matrix} x+y=5\\ 2\leq x\leq 10;1\leq y\leq 5 \end{matrix}\right.[/tex]
(x;y)=(2;3) => có [tex]C_{10}^{2}.C_{5}^{3}[/tex] cách chọn
(x;y)=(3;2) => có [tex]C_{10}^{3}.C_{5}^{2}[/tex] cách chọn
(x;y)=(4;1) => có [tex]C_{10}^{4}.C_{5}^{1}[/tex] cách chọn
Vậy có tất cả [tex]C_{10}^{2}.C_{5}^{3}[/tex]+[tex]C_{10}^{3}.C_{5}^{2}[/tex]+[tex]C_{10}^{4}.C_{5}^{1}[/tex] cách chọn

 

[toilatot]

Bài 1. Từ 6 bông hoa màuvàng, 4 bông hoa màu trắng và 5 bông hoa màu đỏ (các bông hoa đôi một khác nhau). Người ta chọn một bó hoa gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn trong đó

a. Có đủ 3 màu và số bông hoa màu trắng không ít hơn 3.

b. Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ.

a/
a/ đề yêu cầu ''số bông hoa màu trắng không ít hơn 3 ''tức chỉ có thể là 3 và 4
+th1 :3 trắng ,1 vàng ,3 đỏ
+th2 :3trắng ,3 vàng ,1 đỏ
+th3 :4 trắng ,2 vàng ,1 đỏ
+th4 :4 trắng ,1 vàng ,2 đỏ
b/y/c
Có ít nhất 2 bông hoa màu vàng và ít nhất 3 bông hoa màu đỏ
ta làm theo phủ định
bài bạn làm xét thiếu trường hợp nhé

b. Số cách chọn 7 bông từ 15 bông là: C715C157C_{15}^{7}
+Số cách chọn 1 vàng, 2 đỏ , 4 trắng: C16C61C_{6}^{1}.C25C52C_{5}^{2}.C44C44C_{4}^{4}
=> Số cách chọn 7 bông trong đó có ít nhất 2 vàng, 3 đỏ là: C715C157C_{15}^{7}-C16C61C_{6}^{1}.C25C52C_{5}^{2}.C44

đó là trường hợp ko có màu vàng , ko có màu đỏ
ko có trường hợp ko có cả 2 màu nhé vì màu trắn có 4 bông và ta cần chọn 7 bông
bài 3 bạn làm đúng rồi
nếu có gì thắc mắc cứ nói nhé bởi mik cũng chỉ là giải ko cóđáp án thôi

 

[toilatot]

Bài 2. Có 12 cây giống 3 loại: Mít có 6 cây, Ổi có 4 cây, Xoài có 2 cây. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho số cây Ổi nhiều hơn số cây Xoài.

theo suy nghĩ của mình
làm theo phàn bù nhé
b1 tìmsố cách chọn cả 3 lại cây
b2 tìm số loại cây ổi ít hơn hoặc = xoài
b3 b1-b2

 

[toilatot]

+có ai muốn học xếp cờ vua không ????
mình xếp ngu lắm
+Kết thúc lí thuyết với các bài tập hết sức căn bản (nhiều bạn chắc chắn rát nóng lòng xem hs trường chuyên,ban nâng cao học về phần này thế nào nhỉ ?
+sau đây sẽ là 1 số bài trường chuyên (ko khó lắm nếu bạn biết suy nghĩ )(mình ko có đáp án nhưng các bạn ko cần lo ngại không biết bài nào có thể hỏi ....bởi mik lúc đó sẽ ngồi nghĩ ...có thể trả lời chậm nhưng cũng sẽ trả lời)
+quan điểm sẽ chinh phục mọi thứ ~toilatot~
Bài Toán 1: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014) (đã chữa bên dưới)
Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.
Bài Toán 2: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014)

Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 .
Bài Toán3:

Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số.
Bài Toán 4: (Vĩnh Phúc-2014)

Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.
Bài Toán 5:

Một hộp có 5 viên bi xanh,6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp.Tính xác suất của biến cố 5 viên được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng
Bài Toán 6:
Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái từ A,B,C,…….,Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có bao nhiêu biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó giống nhau.

( Có phân biệt vị trí sắp xếp các chữ cái và chữ số giữa các biển số với nhau: VD: AK 1698 và KA 1698 )
Bài toán 7:bàn cờ vua hình vuông mỗi cạnh chia 8 ô ,tổng cộng 64 ô
một quân xe có thể ăn trực tiếp bất kì 1 quân cùng cột hoặc cùng hàng với nó .giả sử trên bàn cờ có 3 quân xe (chỉ có 3 quân thôi nhé và khác màu )
hỏi có bao nhiêu cách đặt 3 quân xe lên bàn cờ sao cho chúng ko ăn lẫn nhau
(bài này mình có trong đề hsg của mình )