K
kimxakiem2507
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Hình oxy là một phần không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh đại học,nó có đầy đủ các dạng và biến hoá theo ý đồ người ra đề làm cho chúng ta có thể thấy hơi mệt mỏi.Nhằm cho các bạn có một cách nhìn đầy đủ hơn mình xin giới thiệu phương pháp cần thiết và cách nhìn bài toán để có thể tìm ra hướng giải nhanh nhất.Các định nghĩa cơ bản đã có sẵn trong sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo khác rồi ,các bạn hãy nắm vững nhé,ở đây để không làm loãng ý tưởng mình sẽ không nêu lên nữa nhé.Thật tiếc là mình chưa thể vẽ hình để minh hoạ cho ý tưởng.Các bạn nên nắm kỹ phương pháp vì đa số đều sẽ áp dụng cho hình oxyz sau này!
I/ Cách viết Phương trình đường thẳng:
1/Cách 1 :Chỉ một điểm [tex]M(a,b)[/tex] và một vec tơ pháp tuyến [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex] của đường thẳng
[tex]\Rightarrow{(d): A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By+C=0[/tex]
Lưu ý :Vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương có thể chuyển đổi qua lại và các thể phóng to thu nhỏ được.
Ví dụ :[tex]\vec{n}=(2,3)\Rightarrow{\left[\vec{a}=(3,-2)\\\vec{a}=(-3,2)[/tex]
[tex]\vec{a}=(1,3)\Rightarrow{\left[\vec{n}=(3,-1)\\\vec{n}=(-3,1)[/tex]
[tex]\vec{n}=(5,10)=5(1,2)[/tex] do đó ta nên chọn [tex]1vtpt[/tex] là [tex](1,2)[/tex] để viết cho đơn giản hơn.
2/Cách 2: Định dạng phương trình đường thẳng và sử dụng phương trình khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng này để giải tìm ra tham số còn thiếu của đường thẳng.
[tex](d):Ax+By+C=0,M(a,b)\Rightarrow{d(M,d)=\frac{\|aA+bB+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
a)Biết [tex]1vtpt[/tex] của đường thẳng [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex]
Thường cho [tex](d)[/tex] song song hoặc vuông góc với một đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] cho trước(song song thì chọn[tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là [tex]vtpt[/tex] của [tex](\Delta)[/tex],vuông góc thì chọn [tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là[tex]vtcp[/tex] của [tex](\Delta)[/tex])
[tex]\Rightarrow{(d) :Ax+By+C=0[/tex] (thiếu[tex]C[/tex])
Phương trình giải tìm [tex]C[/tex] sẽ có dạng [tex]\|m\|=\|n\|\Leftrightarrow{\left[m=n\\n=-n[/tex]
b)Biết đường thẳng đi qua điểm [tex]M(a,b)[/tex]
Gọi [tex]1vtpt[/tex] là [tex]\vec{n}=(A,B) \ \ (A^2+B^2\neq0)[/tex]
[tex]\Rightarrow{(d):A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By-aA-bB=0[/tex]
Lưu ý
o tính chất phóng to thu nhỏ của vecto pháp tuyến nên mặc dù có hai ẩn là [tex]A,B[/tex] nhưng ta chỉ cần một phương trình để giải,ta cần tìm ra mối liên hệ giữa [tex]A[/tex] và [tex]B[/tex] rồi chọn [tex]A[/tex] hoặc[tex]B[/tex] bất kỳ là được.
Phương trình giải tìm mối liên hệ giữa [tex]A,B[/tex]:nhân [tex]\sqrt{A^2+B^2}[/tex]qua vế kia rồi bình phương hai vế
Ví dụ : ta được phương trình :[tex]3A^2-2AB=0\Leftrightarrow{\left[A=0\\A=\frac{2B}{3}[/tex][tex]\Rightarrow{\left[(A,B)=(0,1)\\(A,B)=(2,3)[/tex]
phương trình :[tex]3A^2-4AB+B^2=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{3k^2-4k+1=0\ \ (k=\frac{A}{B})[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[k=1\\k=\frac{1}{3}[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[A=B\\A=\frac{1}{3}B\Rightarrow{\left[(A,B)=(1,1)\\\left[(A,B)=(1,3)[/tex]
II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây
a)Ưu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết hoặc có thể viết được
[tex]M=\left{(d_1)\\(d_2)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d_1)\\(d_2)[/tex] (Bấm máy là ra)
b) Ưu tiên 2: là giao điểm của đường thẳng (đường tròn) và đường tròn đã biết hoặc có thể viết được
Biết [tex]MI[/tex]thì[tex]M s[/tex]ẽ nằm trên đường tròn tâm [tex]I[/tex] bán kính [tex]MI[/tex]
[tex]M=\left{(d)\\(C)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d)\\(C)[/tex] (rút[tex]x[/tex] theo [tex]y[/tex] hoặc [tex]y[/tex] theo [tex]x[/tex] từ [tex](d)[/tex] thế xuống [tex](C)[/tex])
c)Ưu tiên 3 :Đặt ẩn giải ([tex]n[/tex] ẩn cần [tex]n[/tex] phương trình để giải,sử dụng hết dữ liệu đề cho)
[tex]+[/tex]Một điểm tự do [tex]M(a,b)[/tex] sẽ có hai ẩn :cần hai phương trình để giải
[tex]+ M\in{(d)\Rightarrow{\left[M(a,f(a))\\M(f(a),a)[/tex] chỉ có một ẩn và cần [tex]1[/tex]phương trình để giải
Lưu Ý :[tex]M[/tex] có [tex]1[/tex] ẩn và ẩn [tex]x[/tex] hay [tex]y[/tex]cũng được nhưng nên chọn sao cho dễ thương nhất
ví du: [tex]M\in{(d):2x-y+1=0\Rightarrow{M(a,2a+1)[/tex]
[tex]M\in{(d):x-3y+1=0\Rightarrow{M(3a-1,a)[/tex] không nên chọn [tex]M(a,\frac{a+1}{3})[/tex] xấu xí
Các phương trình thường sử dụng để giải ẩn:
tuỳ theo đề bài cho,nhớ phải sử dụng hết dữ liệu bài toán nhé,cẩn thận các phương trình giải bị trùng nhau,ta cứ tưởng đủ phương trình giải nhưng thật ra còn thiếu do chưa sử dụng hết dữ liệu!
1)Vuông góc :
[tex]+ AB \perp\ CD[/tex][tex]\Rightarrow{\vec{AB}.\vec{CD}=0 (1pt)[/tex]
Lưu ý : nếu [tex]CD[/tex] nằm trên [tex](d)[/tex] thì ta nên sử dụng phương trình :[tex]\vec{AB}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
[tex]+[/tex] Trực tâm [tex]H[/tex]là giao điểm của hai đường cao,đưởng cao thứ [tex]3[/tex] cũng qua [tex]H[/tex] nhé
[tex]\left{\vec{AH}.\vec{BC}=0\\\vec{BH}.\vec{AC}=0[/tex][tex]\ \ (2pt)[/tex]
Lưu Ý :các vecto trên nên thay thế bằng các [tex]vtcp[/tex] của đường thẳng chứa nó!
2) Trọng tâm [tex]G[/tex],trung điểm[tex]M[/tex]
Ở đây mình ký hiệu theo điểm cho dễ nhìn
[tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}[/tex] [tex](2pt)[/tex]
Lưu ý : Nếu ta rút ẩn của hai điểm (hai ẩn phải khác nhau)từ cùng môt phương trình đường thẳng thì khi giải phương trình trung điểm hay hệ phương trình hai vecto bằng nhau thì chỉ cần phương trình hoành độ thôi,phương trình tung độ sẽ tự động thoã mãn ,sử dụng cả hai sẽ bị trùng lặp!
Xem ví dụ sau:
[tex]+[/tex]Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha
[tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}\Leftrightarrow{M=\frac{3G-A}{2}[/tex]
[tex]+[/tex]Ở đây [tex]A,G,M[/tex]cố định do đó nếu[tex]M=\frac{B+C}{2}[/tex] thì đương nhiện [tex]G[/tex] sẽ là trọng tâm tam giác [tex]ABC[/tex],nếu ta áp dụng tiếp [tex]G=\frac{A+B+C}{3}[/tex] hoặc bất cứ phương trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay.[tex]B,M,C[/tex]cùng thuộc một đường thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã.
[tex]+ H[/tex] chỉ nằm trên đường cao [tex]AH[/tex] nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải ép[tex]BH[/tex]vuông góc [tex]AC[/tex](hoặc [tex]CH[/tex] vuông góc [tex]AB[/tex]) thì [tex]H[/tex] mới là trực tâm được và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)
Giải :
Dễ dàng tìm được [tex]M(\frac{7}{2},\frac{1}{2}),\ \ \vec{AH}=(5,-5)[/tex]
[tex](BC):\ \ x-y-3=0[/tex] [tex]B,C\in{(BC)\Rightarrow{B(a,a-3),C(b,b-3) \ \ (a\neq{b})[/tex]
[tex]M[/tex] là trung điểm [tex]BC[/tex]và [tex]BH[/tex] vuông góc [tex]AC[/tex] ta có hệ:
[tex]\left{a+b=7\\(a-2)(b+3)+(a-4)(b-9)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab-3(a+b)+15=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab=6[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{{\left[a=1\\b=6}\\{\left[a=6\\b=1[/tex]
Vậy [tex]B(1,-2),C(6,3)[/tex] hoặc [tex]B(6,3),C(1,-2)[/tex]
3/Sử dụng phương trình diện tích [tex]S[/tex] đề cho
Các công thức tính [tex]S[/tex]thường sử dụng :
[tex]S=\frac{1}{2} dcao.canhday[/tex]
[tex]S=p.r=\frac{AB.BC.AC}{4R}[/tex]([tex]p[/tex] là nữa chu vi,[tex]r[/tex]:bk nội tiếp,[tex]R[/tex]:ngoại tiếp)
[tex]S=\frac{1}{2}AB.AC.sinA= \frac{1}{2}AB.BC.sinB= \frac{1}{2}AC.BC.sinC[/tex](thường sử dụng trong bài toàn đường thẳng cắt đường tròn tại [tex]A,B:S_{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin(AIB)[/tex])
*Chọn một đỉnh bất kỳ của tam giác sẽ được [tex]2[/tex] vecto
[tex]\vec{AB}=(a,b),\vec{AC}=(c,d)\Rightarrow{S_{ABC}= \frac{1}{2}\|ad-bc\|[/tex]
Lưu ý :Nếu [tex]1[/tex] trong [tex]3[/tex] đỉnh có chứa ẩn thì ta nên chọn [tex]1[/tex] trong [tex]2[/tex] đỉnh không chứa ẩn để chẻ ra [tex]2[/tex] vecto(nhằm giảm bớt biểu thức chứa ẩn)
4/Các hướng suy nghĩ khi gặp dữ liệu bài toán :
a)Đường trung tuyến :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trọng tâm,trung điểm,đỉnh ứng với đường trung tuyến)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường trung tuyến
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình trung điểm tương ứng
b)Đường cao :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trực tâm,chân đường cao,đỉnh ứng với đường cao)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường cao
- Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình tích vô hướng bằng 0 cùa vtcp và vecto vuông góc với đường thẳng.
c)Đường trung trực :là tổng hợp của đường cao và đường trung tuyến.
d)Đường phân giác trong:
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(chân đường phân giác,đỉnh ứng với đường phân giác)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường phân giác
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
Tính chất quan trọng :Tìm một điểm bên cạnh này (cạnh này thường biết[tex]vtpt[/tex] rồi,chờ lấy điểm này là viết được cạnh ) đối xứng với điểm bên cạnh kia (điểm này có rồi) qua đường phân giác.
Giả sử lấy điểm [tex]M\in{(AB)[/tex] đối xứng với [tex]N \in{(AC)[/tex] qua đường phân giác trong[tex](d)[/tex] góc [tex]A[/tex]
Ý tưởng :Trung điểm[tex]I[/tex]của [tex]MN[/tex] thuộc [tex](d)\ \ ,\vec{MN}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
Ví dụ [tex](d):x+3y+2=0,N(1,2)\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex]là nghiệm cũa hệ :[tex]\left{\frac{x-1}{2}+3\frac{y-2}{2}+2=0\\3(x-1)-1(y-2)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{x=\frac{3}{5}\\y=\frac{4}{5}[/tex][tex]\Rightarrow{M(\frac{3}{5},\frac{4}{5})[/tex]
III.Tam giác :
-Trọng tâm [tex]G[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường trung tuyến
-Trực tâm [tex]H[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường cao
-Tâm [tex]I[/tex] của đường tròn ngoại tiếp là giao [tex]2[/tex] đường trung trực ,bán kính [tex]R=IA=IB=IC[/tex]
-Tâm [tex]K[/tex] của đường tròn nội tiếp là giao[tex]2[/tex] đường phân giác ,bán kính [tex]r=d(K,canh)[/tex]
Cách viết phương trình đường phân giác trong góc [tex]A[/tex] khi biết [tex]3[/tex] đỉnh :
Gọi [tex]D[/tex] là chân đường phân giáctrong [tex](D\in{(BC))[/tex] ta có :[tex]\frac{\vec{BD}}{\vec{DC}}=\frac{AB}{AC}[/tex][tex]\Rightarrow{D[/tex]
Tìm tâm K :[tex]\frac{\vec{AK}}{\vec{KD}}=\frac{AB}{BD}[/tex][tex]\Rightarrow{K[/tex]
a/Tam giác cân:
-tam giác [tex]ABC[/tex] cân tại [tex]A[/tex]:[tex]\Leftrightarrow{AB=AC[/tex](ít sử dụng)
[tex]\vec{AI}.\vec{BC}=0 hay \vec{AI}.\vec{a_{(BC)}}=0[/tex][tex](1pt)[/tex] (thường sử dụng)
-Đường thẳng qua một điểm bất kỳ và song song với [tex]BC[/tex] cũng tao thành một tam giác cân,sử dụng tính chất trung điểm tam giác cân mới để viết đường cao trong tam giác [tex]ABC[/tex](đa số sử dụng điều kiện này khi đề bài cho thêm một điểm nào đó)
-Đường cao đỉnh cân cũng là đường trung tuyến,đường trung trực,đường phân giác
b/Tam giác vuông ví dụ tại [tex]A[/tex]
- ta có : [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=0 (1pt)[/tex]
-Nếu có ptrinh [tex](AB)[/tex] thì [tex](AC)[/tex] có [tex]vtpt[/tex] và ngược lại
-Trung điểm cạnh huyền chính là tâm đường tròn ngoại tiếp (3 diểm A,B,C sẽ nằm trên đường tròn này nếu ta viết được nó khi biết tâm và bán kính)
c/ vuông cân :là tổng hợp giữa vuông và cân
d/tam giác đều:sử dụng điều kiện của hai tam giác cân.tại 2 đỉnh cùng lúc (hoặc tam giác cân có cạnh bên bằng cạnh đáy,tuỳ đề bài cho mà ta linh hoạt sử dụng )
I/ Cách viết Phương trình đường thẳng:
1/Cách 1 :Chỉ một điểm [tex]M(a,b)[/tex] và một vec tơ pháp tuyến [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex] của đường thẳng
[tex]\Rightarrow{(d): A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By+C=0[/tex]
Lưu ý :Vecto pháp tuyến và vecto chỉ phương có thể chuyển đổi qua lại và các thể phóng to thu nhỏ được.
Ví dụ :[tex]\vec{n}=(2,3)\Rightarrow{\left[\vec{a}=(3,-2)\\\vec{a}=(-3,2)[/tex]
[tex]\vec{a}=(1,3)\Rightarrow{\left[\vec{n}=(3,-1)\\\vec{n}=(-3,1)[/tex]
[tex]\vec{n}=(5,10)=5(1,2)[/tex] do đó ta nên chọn [tex]1vtpt[/tex] là [tex](1,2)[/tex] để viết cho đơn giản hơn.
2/Cách 2: Định dạng phương trình đường thẳng và sử dụng phương trình khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng này để giải tìm ra tham số còn thiếu của đường thẳng.
[tex](d):Ax+By+C=0,M(a,b)\Rightarrow{d(M,d)=\frac{\|aA+bB+C\|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
a)Biết [tex]1vtpt[/tex] của đường thẳng [tex]\vec{n}=(A,B)[/tex]
Thường cho [tex](d)[/tex] song song hoặc vuông góc với một đường thẳng [tex](\Delta)[/tex] cho trước(song song thì chọn[tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là [tex]vtpt[/tex] của [tex](\Delta)[/tex],vuông góc thì chọn [tex]vtpt[/tex] của [tex](d)[/tex] là[tex]vtcp[/tex] của [tex](\Delta)[/tex])
[tex]\Rightarrow{(d) :Ax+By+C=0[/tex] (thiếu[tex]C[/tex])
Phương trình giải tìm [tex]C[/tex] sẽ có dạng [tex]\|m\|=\|n\|\Leftrightarrow{\left[m=n\\n=-n[/tex]
b)Biết đường thẳng đi qua điểm [tex]M(a,b)[/tex]
Gọi [tex]1vtpt[/tex] là [tex]\vec{n}=(A,B) \ \ (A^2+B^2\neq0)[/tex]
[tex]\Rightarrow{(d):A(x-a)+B(y-b)=0\Leftrightarrow{Ax+By-aA-bB=0[/tex]
Lưu ý
o tính chất phóng to thu nhỏ của vecto pháp tuyến nên mặc dù có hai ẩn là [tex]A,B[/tex] nhưng ta chỉ cần một phương trình để giải,ta cần tìm ra mối liên hệ giữa [tex]A[/tex] và [tex]B[/tex] rồi chọn [tex]A[/tex] hoặc[tex]B[/tex] bất kỳ là được.Phương trình giải tìm mối liên hệ giữa [tex]A,B[/tex]:nhân [tex]\sqrt{A^2+B^2}[/tex]qua vế kia rồi bình phương hai vế
Ví dụ : ta được phương trình :[tex]3A^2-2AB=0\Leftrightarrow{\left[A=0\\A=\frac{2B}{3}[/tex][tex]\Rightarrow{\left[(A,B)=(0,1)\\(A,B)=(2,3)[/tex]
phương trình :[tex]3A^2-4AB+B^2=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{3k^2-4k+1=0\ \ (k=\frac{A}{B})[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[k=1\\k=\frac{1}{3}[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left[A=B\\A=\frac{1}{3}B\Rightarrow{\left[(A,B)=(1,1)\\\left[(A,B)=(1,3)[/tex]
II/ Cách tìm toạ độ một điểm:Có thể kết hợp cùng lúc 3 ưu tiên dưới đây
a)Ưu tiên 1 : là giao điểm của hai đường đã biết hoặc có thể viết được
[tex]M=\left{(d_1)\\(d_2)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d_1)\\(d_2)[/tex] (Bấm máy là ra)
b) Ưu tiên 2: là giao điểm của đường thẳng (đường tròn) và đường tròn đã biết hoặc có thể viết được
Biết [tex]MI[/tex]thì[tex]M s[/tex]ẽ nằm trên đường tròn tâm [tex]I[/tex] bán kính [tex]MI[/tex]
[tex]M=\left{(d)\\(C)[/tex][tex]\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex] là nghiệm của hệ :[tex]\left{(d)\\(C)[/tex] (rút[tex]x[/tex] theo [tex]y[/tex] hoặc [tex]y[/tex] theo [tex]x[/tex] từ [tex](d)[/tex] thế xuống [tex](C)[/tex])
c)Ưu tiên 3 :Đặt ẩn giải ([tex]n[/tex] ẩn cần [tex]n[/tex] phương trình để giải,sử dụng hết dữ liệu đề cho)
[tex]+[/tex]Một điểm tự do [tex]M(a,b)[/tex] sẽ có hai ẩn :cần hai phương trình để giải
[tex]+ M\in{(d)\Rightarrow{\left[M(a,f(a))\\M(f(a),a)[/tex] chỉ có một ẩn và cần [tex]1[/tex]phương trình để giải
Lưu Ý :[tex]M[/tex] có [tex]1[/tex] ẩn và ẩn [tex]x[/tex] hay [tex]y[/tex]cũng được nhưng nên chọn sao cho dễ thương nhất
ví du: [tex]M\in{(d):2x-y+1=0\Rightarrow{M(a,2a+1)[/tex]
[tex]M\in{(d):x-3y+1=0\Rightarrow{M(3a-1,a)[/tex] không nên chọn [tex]M(a,\frac{a+1}{3})[/tex] xấu xí
Các phương trình thường sử dụng để giải ẩn:
tuỳ theo đề bài cho,nhớ phải sử dụng hết dữ liệu bài toán nhé,cẩn thận các phương trình giải bị trùng nhau,ta cứ tưởng đủ phương trình giải nhưng thật ra còn thiếu do chưa sử dụng hết dữ liệu!
1)Vuông góc :
[tex]+ AB \perp\ CD[/tex][tex]\Rightarrow{\vec{AB}.\vec{CD}=0 (1pt)[/tex]
Lưu ý : nếu [tex]CD[/tex] nằm trên [tex](d)[/tex] thì ta nên sử dụng phương trình :[tex]\vec{AB}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
[tex]+[/tex] Trực tâm [tex]H[/tex]là giao điểm của hai đường cao,đưởng cao thứ [tex]3[/tex] cũng qua [tex]H[/tex] nhé
[tex]\left{\vec{AH}.\vec{BC}=0\\\vec{BH}.\vec{AC}=0[/tex][tex]\ \ (2pt)[/tex]
Lưu Ý :các vecto trên nên thay thế bằng các [tex]vtcp[/tex] của đường thẳng chứa nó!
2) Trọng tâm [tex]G[/tex],trung điểm[tex]M[/tex]
Ở đây mình ký hiệu theo điểm cho dễ nhìn
[tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}[/tex] [tex](2pt)[/tex]
Lưu ý : Nếu ta rút ẩn của hai điểm (hai ẩn phải khác nhau)từ cùng môt phương trình đường thẳng thì khi giải phương trình trung điểm hay hệ phương trình hai vecto bằng nhau thì chỉ cần phương trình hoành độ thôi,phương trình tung độ sẽ tự động thoã mãn ,sử dụng cả hai sẽ bị trùng lặp!
Xem ví dụ sau:
[tex]+[/tex]Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng nếu ta không tỉnh táo lập tức sẽ rơi vào vòng lẩn quẩn ngay.
[tex]+[/tex]Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha
[tex]G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}\Leftrightarrow{M=\frac{3G-A}{2}[/tex]
[tex]+[/tex]Ở đây [tex]A,G,M[/tex]cố định do đó nếu[tex]M=\frac{B+C}{2}[/tex] thì đương nhiện [tex]G[/tex] sẽ là trọng tâm tam giác [tex]ABC[/tex],nếu ta áp dụng tiếp [tex]G=\frac{A+B+C}{3}[/tex] hoặc bất cứ phương trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay.[tex]B,M,C[/tex]cùng thuộc một đường thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã.
[tex]+ H[/tex] chỉ nằm trên đường cao [tex]AH[/tex] nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải ép[tex]BH[/tex]vuông góc [tex]AC[/tex](hoặc [tex]CH[/tex] vuông góc [tex]AB[/tex]) thì [tex]H[/tex] mới là trực tâm được và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)
Giải :
Dễ dàng tìm được [tex]M(\frac{7}{2},\frac{1}{2}),\ \ \vec{AH}=(5,-5)[/tex]
[tex](BC):\ \ x-y-3=0[/tex] [tex]B,C\in{(BC)\Rightarrow{B(a,a-3),C(b,b-3) \ \ (a\neq{b})[/tex]
[tex]M[/tex] là trung điểm [tex]BC[/tex]và [tex]BH[/tex] vuông góc [tex]AC[/tex] ta có hệ:
[tex]\left{a+b=7\\(a-2)(b+3)+(a-4)(b-9)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab-3(a+b)+15=0[/tex] [tex]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab=6[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{{\left[a=1\\b=6}\\{\left[a=6\\b=1[/tex]
Vậy [tex]B(1,-2),C(6,3)[/tex] hoặc [tex]B(6,3),C(1,-2)[/tex]
3/Sử dụng phương trình diện tích [tex]S[/tex] đề cho
Các công thức tính [tex]S[/tex]thường sử dụng :
[tex]S=\frac{1}{2} dcao.canhday[/tex]
[tex]S=p.r=\frac{AB.BC.AC}{4R}[/tex]([tex]p[/tex] là nữa chu vi,[tex]r[/tex]:bk nội tiếp,[tex]R[/tex]:ngoại tiếp)
[tex]S=\frac{1}{2}AB.AC.sinA= \frac{1}{2}AB.BC.sinB= \frac{1}{2}AC.BC.sinC[/tex](thường sử dụng trong bài toàn đường thẳng cắt đường tròn tại [tex]A,B:S_{AIB}=\frac{1}{2}R^2sin(AIB)[/tex])
*Chọn một đỉnh bất kỳ của tam giác sẽ được [tex]2[/tex] vecto
[tex]\vec{AB}=(a,b),\vec{AC}=(c,d)\Rightarrow{S_{ABC}= \frac{1}{2}\|ad-bc\|[/tex]
Lưu ý :Nếu [tex]1[/tex] trong [tex]3[/tex] đỉnh có chứa ẩn thì ta nên chọn [tex]1[/tex] trong [tex]2[/tex] đỉnh không chứa ẩn để chẻ ra [tex]2[/tex] vecto(nhằm giảm bớt biểu thức chứa ẩn)
4/Các hướng suy nghĩ khi gặp dữ liệu bài toán :
a)Đường trung tuyến :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trọng tâm,trung điểm,đỉnh ứng với đường trung tuyến)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường trung tuyến
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình trung điểm tương ứng
b)Đường cao :
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(trực tâm,chân đường cao,đỉnh ứng với đường cao)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường cao
- Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
-Sử dụng phương trình tích vô hướng bằng 0 cùa vtcp và vecto vuông góc với đường thẳng.
c)Đường trung trực :là tổng hợp của đường cao và đường trung tuyến.
d)Đường phân giác trong:
-Dùng để làm đường thẳng giao với đường thẳng khác để tìm giao điểm nào đó(chân đường phân giác,đỉnh ứng với đường phân giác)
-Dùng để rút ẩn của một điểm nào đó nằm trên đường phân giác
-Đường thẳng nào song song hay vuông góc với nó đếu có vtpt rồi
Tính chất quan trọng :Tìm một điểm bên cạnh này (cạnh này thường biết[tex]vtpt[/tex] rồi,chờ lấy điểm này là viết được cạnh ) đối xứng với điểm bên cạnh kia (điểm này có rồi) qua đường phân giác.
Giả sử lấy điểm [tex]M\in{(AB)[/tex] đối xứng với [tex]N \in{(AC)[/tex] qua đường phân giác trong[tex](d)[/tex] góc [tex]A[/tex]
Ý tưởng :Trung điểm[tex]I[/tex]của [tex]MN[/tex] thuộc [tex](d)\ \ ,\vec{MN}.\vec{a_{(d)}}=0[/tex]
Ví dụ [tex](d):x+3y+2=0,N(1,2)\Rightarrow{[/tex]Toạ độ [tex]M[/tex]là nghiệm cũa hệ :[tex]\left{\frac{x-1}{2}+3\frac{y-2}{2}+2=0\\3(x-1)-1(y-2)=0[/tex][tex]\Leftrightarrow{\left{x=\frac{3}{5}\\y=\frac{4}{5}[/tex][tex]\Rightarrow{M(\frac{3}{5},\frac{4}{5})[/tex]
III.Tam giác :
-Trọng tâm [tex]G[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường trung tuyến
-Trực tâm [tex]H[/tex] là giao [tex]2[/tex] đường cao
-Tâm [tex]I[/tex] của đường tròn ngoại tiếp là giao [tex]2[/tex] đường trung trực ,bán kính [tex]R=IA=IB=IC[/tex]
-Tâm [tex]K[/tex] của đường tròn nội tiếp là giao[tex]2[/tex] đường phân giác ,bán kính [tex]r=d(K,canh)[/tex]
Cách viết phương trình đường phân giác trong góc [tex]A[/tex] khi biết [tex]3[/tex] đỉnh :
Gọi [tex]D[/tex] là chân đường phân giáctrong [tex](D\in{(BC))[/tex] ta có :[tex]\frac{\vec{BD}}{\vec{DC}}=\frac{AB}{AC}[/tex][tex]\Rightarrow{D[/tex]
Tìm tâm K :[tex]\frac{\vec{AK}}{\vec{KD}}=\frac{AB}{BD}[/tex][tex]\Rightarrow{K[/tex]
a/Tam giác cân:
-tam giác [tex]ABC[/tex] cân tại [tex]A[/tex]:[tex]\Leftrightarrow{AB=AC[/tex](ít sử dụng)
[tex]\vec{AI}.\vec{BC}=0 hay \vec{AI}.\vec{a_{(BC)}}=0[/tex][tex](1pt)[/tex] (thường sử dụng)
-Đường thẳng qua một điểm bất kỳ và song song với [tex]BC[/tex] cũng tao thành một tam giác cân,sử dụng tính chất trung điểm tam giác cân mới để viết đường cao trong tam giác [tex]ABC[/tex](đa số sử dụng điều kiện này khi đề bài cho thêm một điểm nào đó)
-Đường cao đỉnh cân cũng là đường trung tuyến,đường trung trực,đường phân giác
b/Tam giác vuông ví dụ tại [tex]A[/tex]
- ta có : [tex]\vec{AB}.\vec{AC}=0 (1pt)[/tex]
-Nếu có ptrinh [tex](AB)[/tex] thì [tex](AC)[/tex] có [tex]vtpt[/tex] và ngược lại
-Trung điểm cạnh huyền chính là tâm đường tròn ngoại tiếp (3 diểm A,B,C sẽ nằm trên đường tròn này nếu ta viết được nó khi biết tâm và bán kính)
c/ vuông cân :là tổng hợp giữa vuông và cân
d/tam giác đều:sử dụng điều kiện của hai tam giác cân.tại 2 đỉnh cùng lúc (hoặc tam giác cân có cạnh bên bằng cạnh đáy,tuỳ đề bài cho mà ta linh hoạt sử dụng )
Last edited by a moderator:
