[toán 10]Bài tập về phép chia hết!

[selena142]

[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]=[TEX](n^8-1)(n^4-1)[/TEX]=[TEX](n^4+1)[/TEX][TEX](n^2-1)[/TEX][TEX](n^2+1)[/TEX][TEX](n^2-1)[/TEX][TEX](n^2+1)[/TEX]

[TEX](n^2-1)[/TEX][TEX](n^2-1)[/TEX]chia hết cho 64
thế còn[TEX](n^2+1)^2[/TEX].[TEX](n^4+1)[/TEX] thì đâu chia hết cho 8 ạ, em phân tích mà k ra!
^
^
^
em nghĩ ra rồi ạk

 

[bonoxofut]

Bài 2. Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt [TEX]a_n=3n^2+6n+13[/TEX]
a. Chứng minh nếu 2 số [TEX]a_i, a_k [/TEX]không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì [TEX]a_i+a_k[/TEX] chia hết cho 5.
b.Tìm số tự nhiên sao cho [TEX]a_n[/TEX] là số chính phương.

Bài này hơi khó 1 chút, nếu em đã học modun thì sẽ làm dễ hơn. Đầu tiên nhé:

Một số nguyên n khi chia cho 5 sẽ đồng dư với các số 0, 1, 2, 3, 4; mà 3 và 4 khi chia 5 đồng dư với -2 và -1 (vì 3 - (-2) = 5, chia hết cho 5; và 4 - (-1) = 5, cũng chia hết cho 5). Em đọc lại mấy bài post trên anh có nói sơ về đồng dư nhé. Do đó khi chia 1 số nguyên n cho 5, nó sẽ đồng dư với các số sau -2, -1, 0, 1, 2.

Nghĩa là khi lấy một số nguyên n bất kỳ, rồi bình lên, đem chia cho 5 chỉ xảy ra 3 trường hợp:

• Chia chẵn (đồng dư 0 mod 5)
• Chia dư 1 (đồng dư 1 mod 5)
• Chia dư 4 (đồng dư -1 mod 5)

Ta tách bài Toán ra như sau:

​

Để ý rằng 10 chia hết cho 5.

Khi [tex]3n^2 + 6n + 13[/tex] không chia hết cho 5, thì n + 1 cũng không chia hết cho 5, nên [tex](n + 1) ^ 2[/tex] cũng không chia hết cho 5, nên nó chia 5 phải dư 1, hoặc 4. Vậy [tex]3(n + 1) ^ 2[/tex] khi chia 5 sẽ dư 3, hoặc 12; hoặc 3 và 2 (vì 12 đồng dư với 2 mod 5; 12 - 2 = 10 chia hết cho 5).

Vậy nếu [tex]a_i ; a_j[/tex] chia 5 không cùng số dư thì số dư của nó phải lần lượt là 3, và 2; hoặc 2 và 3. Trong cả 2 trường hợp thì cộng 2 số lại sẽ chia hết cho 5.

Bài này giải theo cách này có lẽ hơi cao, có bạn nào có cách giải gọn hơn không?

-------------------------------

Anh gợi ý cho em làm câu b nhé. Thử xem làm được không.

• Em đặt phép nhân cho một số nguyên bất kỳ x với chính nó. Nghĩa là x.x, và để ý rằng, chữ số nào trong x (hàng đơn vị, hàng chục, hay hàng trăm) ảnh hưởng đến chữ số tận cùng của kết quả cho phép nhân x.x đó.
• Lấy 1 số nguyên x bất kỳ, bình phương lên, nó chỉ có khả năng tận cùng bằng những chữ số nào?
• Chú ý rằng khi đem 1 số nguyên bình lên, chia cho 5, theo lý luận trên, chỉ có thể có 3 trường hợp:
  • Chia hết cho 5.
  • Chia 5 dư 1.
  • Chia 5 dư 4.
• Vậy theo em
  
  có thể tận cùng bằng những chữ số nào?
• Trong các trường hợp đó, những trường hợp nào có thể là 1 số chính phương?
• Từ đây, em có thể kết thúc bài toán được không?

Nếu vướng mắc ở khúc nào, anh sẽ chỉ tiếp.
​

 

[selena142]

nhưg mà em chưa học mấy cái này
thầy giáo cũng k cho làm theo n~ cách này đâu
hix!

 

[selena142]

phân b đấy em làm theo cái cách này cơ
Xét [TEX](n^2+1)^2.(n^4+1)[/TEX]
vì n lẻ nên n^2 và n^4 cũng lẻ
\Rightarrow[TEX](n^2+1)[/TEX] chia hết cho 2\Rightarrow [TEX](n^2+1)^2[/TEX] chia hết cho 4
[TEX](n^4+1)[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow [TEX](n^2+1)^2.(n^4+1)[/TEX] chia hết cho 8
thế có đc k ạ!

 

[bonoxofut]

phân b đấy em làm theo cái cách này cơ
Xét [TEX](n^2+1)^2.(n^4+1)[/TEX]
vì n lẻ nên n^2 và n^4 cũng lẻ
\Rightarrow[TEX](n^2+1)[/TEX] chia hết cho 2\Rightarrow [TEX](n^2+1)^2[/TEX] chia hết cho 4
[TEX](n^4+1)[/TEX] chia hết cho 2
\Rightarrow [TEX](n^2+1)^2.(n^4+1)[/TEX] chia hết cho 8
thế có đc k ạ!

Uhm, lý luận như vậy, là hoàn toàn đúng rồi đó em.

Thân ,

 

[viet_tranmaininh]

Bài 2. Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt [TEX]a_n=3n^2+6n+13[/TEX]
a. Chứng minh nếu 2 số [TEX]a_i, a_k [/TEX]không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì [TEX]a_i+a_k[/TEX] chia hết cho 5.
b.Tìm số tự nhiên sao cho [TEX]a_n[/TEX] là số chính phương.

Mình làm thế này:
[TEX]a_n= 5(n^2+n+1)- 2(n+1)^2[/TEX]
Do đó [TEX] a_n[/TEX] không chia hết cho 5\Leftrightarrow [TEX]2(n+1)^2[/TEX]không chia hết cho 5
\Leftrightarrow[TEX](n+1)^2[/TEX] không chia hết cho 5
Nếu b không chia hết cho 5 \Rightarrow [TEX]b^2[/TEX]chia 5 dư 1; 4 ( dễ chứng minh)
\Rightarrow[TEX]2(n+1)^2[/TEX]chia 5 dư 2 hoặc 3\Rightarrow[TEX]a_n[/TEX] chia 5 dư 2 hoặc 3
Xét 2 số [TEX]a_i; a_k[/TEX] không chia hết cho 5.
[TEX]a_i=5m+2; a_k=5n+3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a_i +a_k=5( m+n+1)[/TEX] chia hết cho 5 (^-^)
câu b có bạn làm cách hay rùi
P/s: anh chị nào chỉ cho em cái kí hiệu không chia hết với. Em ngại tìm lém rùi ! hjc hjc.....

 

[bonoxofut]

...
\Leftrightarrow[TEX](n+1)^2[/TEX] không chia hết cho 5
Nếu b không chia hết cho 5 \Rightarrow [TEX]b^2[/TEX]chia 5 dư 1; 4 ( dễ chứng minh)

\Rightarrow[TEX]2(n+1)^2[/TEX]chia 5 dư 2 hoặc 3\Rightarrow[TEX]a_n[/TEX] chia 5 dư 2 hoặc 3
Xét 2 số [TEX]a_i; a_k[/TEX] không chia hết cho 5.

Thiệt ra những điều trên này đều đuợc suy ra từ lý thuyết đồng dư, mà chủ TOPIC thì lại chưa học đến.

P/s: anh chị nào chỉ cho em cái kí hiệu không chia hết với. Em ngại tìm lém rùi ! hjc hjc.....

Ký hiệu chia hết là \vdots (viết tắt của vertical dots: những dấu chấm thẳng đứng)
Không là thêm \not vào, không chia hết là \not{\vdots}

Thân,

 

[viet_tranmaininh]

Thiệt ra những điều trên này đều đuợc suy ra từ lý thuyết đồng dư, mà chủ TOPIC thì lại chưa học đến.
Thân,

Cũng không hẳn đâu anh ạ! Em dùng tính chất này dễ hiểu nhưng ko biết có phù hợp với lí thuyết không.
VD: a chia 3 dư 2 \Rightarrow 5a: 3 dư "10" . Mà 10 chia 3 dư 1 \Rightarrow 5a chia 3 dư 1

 

[bonoxofut]

Cũng không hẳn đâu anh ạ! Em dùng tính chất này dễ hiểu nhưng ko biết có phù hợp với lí thuyết không.
VD: a chia 3 dư 2 \Rightarrow 5a: 3 dư "10" . Mà 10 chia 3 dư 1 \Rightarrow 5a chia 3 dư 1

Thiệt ra nếu làm như em thì không sai về lý thuyết, nhưng xét cho cùng thì đó cũng chỉ là biến thể của đồng dư thôi. a đồng dư 2 modulo 3, suy ra 5a đồng dư 10, đồng dư 1 modulo 3.

Chứ thiệt ra đâu ai nói chia 3 mà dư 10, đúng không nè?

Một cách khác để chứng minh, nếu b không chia hết cho 5, thì

chia 5 hoặc dư 1, hoặc dư 4, bằng cách chứng minh:

. Ngoài cách này ra, thì các cách chứng minh khác đều là một biến thể của đồng dư. Theo anh là vậy.