[toán 10]Bài tập về phép chia hết!

[bonoxofut]

em đag học đến dạg bài kiểu này

VD: CMR [TEX]6^{2n}[/TEX] +[TEX]19^n [/TEX] - [TEX]2^{n+1}[/TEX] chia hết cho 17

nhữg dạg này em chưa học bao giờ nên chả quen làm ạ!

có thể chỉ cho em cách nào để có thể nhận ra cách tách cho hợp lí k ạ!

Bài này không tách, mà sẽ làm theo mod cho nó tiện. Thông thường, chỉ khi nào gặp dạng đa thức theo n thì ta mới tách thành tích thôi. Còn lại thì dùng mod cho tiện. Nhất là các hàm mũ như [TEX]2 ^ n[/TEX], ...

Một số công thức cần nhớ khi làm mod:

Giả sử ta có:

Thì:

• 
• 
• 
  (đây là hệ quả của mục trên, bạn biết tại sao không?)

Để chứng minh số x nào đó là chia hết cho y. Ta cần chứng minh

nghĩa là x đồng dư với 0 khi chia cho y. Hay x chia hết cho y.

Bài của bạn cũng không khó, mình mở đầu nhé:

Vì 36 chia 17 dư 2, nghĩa là 36 và 2 có cùng số dư khi chia cho 7, nên:

(theo dấu tròn thứ 3)

Bạn thử làm tiếp xem được không. Mục tiêu là bạn sẽ đi chứng minh:

Thân,
​

Àh, nhân tiện,

...

d) [TEX]mn(m^4 -n^4)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]30

Bài này không thể tách thành tích những số nguyên liên tiếp để chứng minh chia hết, vì m, và n là những số nguyên bất kỳ, ta không thể biết chúng cách nhau bao nhiêu đơn vị cụ thể. Do đó, bài này cũng là 1 dạng bài dùng modulo (đồng dư) để giải, song song với dạng mũ ở trên. Bắt tay vào làm thử xem nào.

Gợi ý: Phản chứng, và modulo.

Chúc bạn thành công.

 

[sicky]

bài này vì mình chưa đc học về đồng dư nên mình thường cm theo cách ptích hoặc quy nạp,bài của bạn mình làm tnày:
[tex]6^{2n}+19^n-2^{n+1}[/tex]
[tex]=36^n-2^n+19^n-2^n[/tex]
bạn chắc hẳn biết hđt:[tex]a^n-b^n=(a-b)[a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}][/tex]
do vậy [tex]a^n-b^n\vdots(a-b)[/tex]phải ko?
\Rightarrow[tex]36^n-2^n=34(...)\vdots17[/tex]
[tex]19^n-2^n\vdots(19-2)=17[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] đpcm
mình nghĩ như vậy cũng chẳng sai đâu nhỉ
quy nạp thì bạn chỉ cần cho mệnh đề đúng với 1 số k nào đó
rùi cm mệnh đề đúng vs số k+1 là suy ra đpcm ngay@-)
bạn có thể tham khảo cách trên nếu thấy cần thiết
à,bài trên mình sửa lại 1 chút:
[tex]n^3+11n\vdots6[/tex]nhé

From MOD: Thông thường để viết số luỹ thừa, ta sẽ bỏ hết cái phần mình cần mũ trong ngoặc nhọn. Tổng quát hoá, tất cả những gì bạn cần gộp lại thành một bộ phận thì để trong ngoặc nhọn. Nghĩa là:
phần cơ số^{phần mũ}
Ví dụ: a ^ {bcd}

Khác với cách đóng tag trong 4rum bằng dấu /, những tag trong LaTeX là \. Chẳng hạn \vdots, không phải /vdots

Thân,

 

[bonoxofut]

quy nạp thì bạn chỉ cần cho mệnh đề đúng với 1 số k nào đó
rùi cm mệnh đề đúng vs số k+1 là suy ra đpcm ngay@-)

Nói kỹ hơn một chút, thì cách chứng minh cho 1 bài quy nạp đúng [TEX]\forall n \ge k_0[/TEX], gồm 3 bước cơ bản sau:

• Thử: Đúng với số [TEX]k_0[/TEX] đề bài cung cấp. Ví dụ cần chứng minh 1 mệnh đề nào đó đúng với mọi [TEX]\forall n \ge 5[/TEX], thì thử xem mệnh đề có đúng với n = 5 không.
• Giả thiết quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với [TEX]n = k[/TEX], với [TEX]k \ge k_0[/TEX].
• Chứng minh: Từ giả thiết quy nạp, phải chứng minh được mệnh đề đúng với n = k+1.

 

[selena142]

à,bài trên mình sửa lại 1 chút:
[tex]n^3+11n\vdots6[/tex]nhé

cậu với tớ như học cùg 1 lớp học thêm ý nhỉ?
tớ chép BVN thầy cho chỉ có[tex]n^3+11\vdots6[/tex] thôi
nhìn ngay là biết chép sai vì thay n=2 thì k thỏa mãn
còn nếu đề bài như của bạn thì dễ ùi
[tex]n^3+11n\vdots6[/tex]
[TEX]n(n^2+ 11)[/TEX]=[TEX]n(n^2-1+12)[/TEX]=n(n-1)(n+1)+12n
thế là chia hết cho 6 rồi đấy
@bonoxofut: mấy cái lí thuyết đồng dư em nhìn loạn cả óc (

 

[bonoxofut]

cậu với tớ như học cùg 1 lớp học thêm ý nhỉ?
tớ chép BVN thầy cho chỉ có[tex]n^3+11\vdots6[/tex] thôi
nhìn ngay là biết chép sai vì thay n=2 thì k thỏa mãn
còn nếu đề bài như của bạn thì dễ ùi
[tex]n^3+11n\vdots6[/tex]
[TEX]n(n^2+ 11)[/TEX]=[TEX]n(n^2-1+12)[/TEX]=n(n-1)(n+1)+12n
thế là chia hết cho 6 rồi đấy

Có tiến bộ rồi đấy. :x

Sẵn tiện xử nốt lun câu 1b, và câu 2 của bạn sicky post coi có gặp rắc rối j` ko nào?

@bonoxofut: mấy cái lí thuyết đồng dư em nhìn loạn cả óc (

​

Có nghĩa là a - b chia hết cho n; hay có thể hiểu 1 cách nôm na là a và b có cùng số dư khi đem chia cho n.

Nếu giải theo đồng dư thì giải theo kiểu này:

​

Nếu em thấy đồng dư khó wa', thì nên làm theo cách của sticky.

 

[selena142]

b)n(n+1)(2n+1)chia hết cho 6
3.Cm với n\geq1,k là số tự nhiên lẻ thì:
1^k+2^k+3^k+...+n^k chia hết cho 1+2+3+...+n

mẹ ơi! k tin đc@-) cách của bạn trên em cũg đã đc thầy giải cho rồi
b) n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(2n-2+3)=2n(n+1)(n-1)+3n(n+1)
xét hạg tử đều chia hết cho 6
anh có làm đc cái bài 3 k?
em k thể làm đc
em nghĩ nó có liên quan đến hằg đằg thức nhưg em chưa cm đc !

 

[bonoxofut]

mẹ ơi! k tin đc@-) cách của bạn trên em cũg đã đc thầy giải cho rồi
b) n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(2n-2+3)=2n(n+1)(n-1)+3n(n+1)
xét hạg tử đều chia hết cho 6
anh có làm đc cái bài 3 k?
em k thể làm đc
em nghĩ nó có liên quan đến hằg đằg thức nhưg em chưa cm đc !

Ok, đúng òy đó.

Thử lun bài 2 đi em. B-)

...
2.Cm tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9

3.Cm với n\geq1,k là số tự nhiên lẻ thì:
1^k+2^k+3^k+...+n^k chia hết cho 1+2+3+...+n

Uhm, cách anh làm là thế này. Có thể chưa tối ưu lắm, nếu ai có cách nào khác thì post cho các mem khác tham khảo lun nhé. :x

• Đầu tiên là em cần làm gọi cái số chia 1 chút, 1 + 2 + ... + n không gọn. Và thường trong các bài chứng minh chia hết thì số chia được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên, chứ không phải tổng.
  
  Bằng cách ghép cặp số đầu và số cuối; số thứ 2 và số áp chót; ... Em sẽ tính được:
  
  
  
  
  
• Nếu n là chẵn thì [TEX]\frac{n}{2}[/TEX] là số nguyên. Vậy khi n chẵn, em sẽ cố gắng chứng minh vế trái chia chẵn cho [TEX]\frac{n}{2}[/TEX], và n + 1.
  
  Tương tự, khi n lẻ thì sẽ chứng minh vế trái chia chẵn cho [TEX]\frac{n+1}{2}[/TEX], và n.
  
  
• Một hằng đẳng thức khá quen thuộc là
  
  

  
  

  
  Đặc biệt, khi n là lẻ thì biểu thức trên có thể được viết lại như sau:
  

  

  
  Đặt x = a, và y = -b, ta có:
  

  

  
  
  ​
• Túm lại, ta có 2 đẳng thức sau:
  • 
    (đúng với mọi n)
  • 
    (chỉ đúng với n lẻ)
    • Nghĩa là ta có, với n lẻ, thì:
      
      
    • Một trường hợp riêng chính là n = 3, mà ta đã biết:
      
      

Thử xem em làm được không nào? B-)

 

[selena142]

2.Cm tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
gọi côg thức tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp là

[TEX](a-1)^3+ a^3+ (a+1)^3[/TEX]
[TEX]= 3n^3+ 6n[/TEX]
[TEX]= 3n(n^2+2)[/TEX]
[TEX]= 3n(n^2-1+3)[/TEX]
[TEX]= 3n(n-1)(n+1)+ 9n[/TEX]

 

[bonoxofut]

2.Cm tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
gọi côg thức tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp là

Uhm, đúng rồi đó em.

Làm thử bài 3 xem, nếu thắc mắc chỗ nào, thì anh gợi ý cho nhé. ^^!

 

[selena142]

bài 3 em làm theo cách anh gợi ý ná!
[TEX]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/TEX] chia hết cho 1+2+3+...+n
xét VT: [TEX](1^k+ n^k)+[2^k+(n-1)^k]+...= (1^k+1)+ (1^k+1)[/TEX]+... \Rightarrow chia hết (1+n)
xét VP: 1+2+...+n=(1+n)+[2+(n-1)]+...=(1+n)+(1+n)+....
có tất cả là n/2 cặp \Rightarrow VP= n/2.(1+n)

 

[bonoxofut]

bài 3 em làm theo cách anh gợi ý ná!
[TEX]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/TEX] chia hết cho 1+2+3+...+n
xét VT: [TEX](1^k+ n^k)+[2^k+(n-1)^k]+...= (1^k+1)+ (1^k+1)[/TEX]+... \Rightarrow chia hết (1+n)

Sorry vì reply em hơi trễ, hum nay bận wa'. =.="

n là chẵn thì ok, nhưng nếu n là lẻ, thì liệu tất cả các số đều có cặp với nhau chứ? Khi n là lẻ thì có đúng là tổng của chúng chia hết cho (n + 1) không?

Ví dụ như tổng này:

xét VP: 1+2+...+n=(1+n)+[2+(n-1)]+...=(1+n)+(1+n)+....
có tất cả là n/2 cặp \Rightarrow VP= n/2.(1+n)

Ok, đúng rồi đó em. ^^!

 

[selena142]

bài 3 em làm theo cách anh gợi ý ná!
[TEX]1^k+2^k+3^k+...+n^k[/TEX] chia hết cho 1+2+3+...+n
xét VT: [TEX](1^k+ n^k)+[2^k+(n-1)^k]+...= (1^k+n)+ (1^k+n)[/TEX]+... \Rightarrow chia hết (1+n)
xét VP: 1+2+...+n=(1+n)+[2+(n-1)]+...=(1+n)+(1+n)+....
có tất cả là n/2 cặp \Rightarrow VP= n/2.(1+n)

n là chẵn thì ok, nhưng nếu n là lẻ, thì liệu tất cả các số đều có cặp với nhau chứ? Khi n là lẻ thì có đúng là tổng của chúng chia hết cho (n + 1) không?

em quên mất k để ý đến
xét VT: [TEX](1^k+ n^k)+[2^k+(n-1)^k]+...= (1^k+n)+ (1^k+n)[/TEX]+...
Ta có [TEX][1^k+ (n-1)^k] [/TEX]chia hết (1+n-1)= n
[TEX][2^k+ (n-2)^k][/TEX] chia hết cho n và n/2
... có tất cả n/2 cặp
Nếu n chẵn thì VT cũng chia hết cho n/2 và (n+1)
Nếu n lẻ thì VT cũng chia hết cho (n+1)/2 và n
...
\Rightarrow VT chia hết vế phải

 

[selena142]

àh, em có bài tập nữa nè!
[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]chia hết cho 48
em phân tích ra thì chỉ chưg mih chia hết cho 64 đc thôi (

 

[bonoxofut]

em quên mất k để ý đến
xét VT: [TEX](1^k+ n^k)+[2^k+(n-1)^k]+...= (1^k+n)+ (1^k+n)[/TEX]+...
Ta có [TEX][1^k+ (n-1)^k] [/TEX]chia hết (1+n-1)= n
[TEX][2^k+ (n-2)^k][/TEX] chia hết cho n và n/2
... có tất cả n/2 cặp
Nếu n chẵn thì VT cũng chia hết cho n/2 và (n+1)
Nếu n lẻ thì VT cũng chia hết cho (n+1)/2 và n
...
\Rightarrow VT chia hết vế phải

Ok, gần đúng. Thêm 1 lưu ý nho nhỏ là x chia hết cho a, và x chia hết cho b; thì chưa chắc là x chia hết cho ab. Điều này chỉ đúng khi a, b là nguyên tố cùng nhau. Hay nói cách khác đi là ƯCLN của a và b là 1.

Khi n chẵn thì ƯCLN của n/2, và (n + 1) có là 1 không?
Khi n lẻ thì ƯCLN của (n + 1)/2, và n có là 1 không?

Và tại sao? Suy nghĩ xem nào. :-"

àh, em có bài tập nữa nè!
[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]chia hết cho 48
em phân tích ra thì chỉ chưg mih chia hết cho 64 đc thôi (

Để chia hết cho 48, thì cần phải chia hết cho 3. Nhưng thế n = 3 vào thì dễ thấy không thoả tính chia hết cho 3. Do đó, kết luận: Đề sai. B-)

Bài trên cũng không chia hết cho 64. Em phân tích sao lại ra chia hết cho 64 vậy?

Thân,

 

[ngojsaoleloj8814974]

CM với mọi a. b nguyên dương thì:
(5a)!(5b)! chia hết cho (3a+b)!(3b+a)!a!b!

 

[selena142]

[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]chia hết cho 512 n là sô lẻ
nhầm đề
đầu óc em bị loạn ràu

 

[bonoxofut]

[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]chia hết cho 512 n là sô lẻ
nhầm đề
đầu óc em bị loạn ràu

Bài này dễ mà em. Gợi ý nhé:

Tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. :-" làm thử lại xem đc ko nè. :x

 

[bboy114crew]

[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 [/TEX]chia hết cho 512 n là sô lẻ
nhầm đề
đầu óc em bị loạn ràu

ta có:
[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 =(n^8-1)(n^4-1)=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)[/TEX]
do n-1 và n+1 là hai số nguyên chẵn liên tiếp nên [TEX](n-1)(n+1) \vdots 8 \Rightarrow (n-1)^2(n+1)^2 \vdots 64 [/TEX]
ta lại có:
[TEX](n^2+1)(n^4+1) \vdots 8[/TEX] do n lẻ \Rightarrow dpcm

 

[bonoxofut]

ta có:
[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 =(n^8-1)(n^4-1)=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)(n^4+1)[/TEX]

Bạn phân tích sai rồi. Bị thiếu đi 1 cái bình phương. =.="
[TEX]n^{12}- n^8- n^4+ 1 =(n^8-1)(n^4-1)=(n-1)^2(n+1)^2(n^2+1)^2(n^4+1)[/TEX]

[TEX](n^2+1)(n^4+1) \vdots 8[/TEX] do n lẻ \Rightarrow dpcm

@.@

 

[selena142]

Bài 2. Với mỗi số tự nhiên n, ta đặt [TEX]a_n=3n^2+6n+13[/TEX]
a. Chứng minh nếu 2 số [TEX]a_i, a_k [/TEX]không chia hết cho 5 và chia cho 5 có số dư khác nhau thì [TEX]a_i+a_k[/TEX] chia hết cho 5.
b.Tìm số tự nhiên sao cho [TEX]a_n[/TEX] là số chính phương.