[toán 10]Bài tập về phép chia hết!

[selena142]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Mọi người giúp em cái bài tập này nhá!
Chứng minh với m, n [TEX]\in \[/TEX] Z ta có
a) [TEX]n^2(n^2 -1)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]12


b) [TEX]n^2(n^4 -1)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]60


c) [TEX]n^5- n[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]30


d) [TEX]mn(m^4 -n^4)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]30


e) [TEX]2n(16- n^4)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]30


Chứng minh với n là số nguyên
a) [TEX]3n^4- 14n^3+ 21n^2- 10n[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]24


b)[TEX]n^5- 5n^3+ 4n[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]120

cái dấu chia hết bựa khôg tả nổi :-j

 

[bonoxofut]

Mọi người giúp em cái bài tập này nhá!
Chứng minh với m, n [TEX]\in \[/TEX] Z ta có
a) [TEX]n^2(n^2 -1)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]12

Không biết đây có phải bài tập về nhà không, nhưng mình sẽ giúp bạn bài tập đầu tiên nhé. Các bài tập khác phía sau đều có thể được làm 1 cách tương tự.

Để chứng minh 1 số là chia hết cho 12, ta cần chứng minh nó chia hết cho 3, và chia hết cho 4.

Như sau:
[TEX]n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1) = [(n-1)n(n+1)]n[/TEX]
Để ý rằng:

• (n - 1)n(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp, trong 3 số đó hiển nhiên sẽ có 1 số chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.
• Tích này cũng chia hết cho 2. Vì trong 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn.
• Kết luận: (n-1)n(n+1) chia hết cho 6.

Vậy nếu n là chẵn thì [(n-1)n(n+1)]n chia hết cho 12.

Nếu n lẻ thì (n - 1), và (n + 1) là chẵn, do đó (n-1)(n+1) sẽ chia hết cho 4. Nên (n-1)n(n+1) chia hết cho 12, dẫn đến [(n-1)n(n+1)]n cũng chia hết cho 12.

-----------------------

Các bài khác có thể làm với tiêu chí tương tự. Bạn có thể thử sức để giải, nếu không tự tin về tính đúng đắn của bài chứng minh, bạn có thể post, và mình sẽ kiểm tra giúp bạn.

Thân,

 

[selena142]

Không biết đây có phải bài tập về nhà không, nhưng mình sẽ giúp bạn bài tập đầu tiên nhé. Các bài tập khác phía sau đều có thể được làm 1 cách tương tự.

Để chứng minh 1 số là chia hết cho 12, ta cần chứng minh nó chia hết cho 3, và chia hết cho 4.

Như sau:
[TEX]n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1) = [(n-1)n(n+1)]n[/TEX]
Để ý rằng:

• (n - 1)n(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp, trong 3 số đó hiển nhiên sẽ có 1 số chia hết cho 3, nên tích này chia hết cho 3.
• Tích này cũng chia hết cho 2. Vì trong 3 số nguyên liên tiếp có ít nhất 1 số chẵn.
• Kết luận: (n-1)n(n+1) chia hết cho 6.

Vậy nếu n là chẵn thì [(n-1)n(n+1)]n chia hết cho 12.

Nếu n lẻ thì (n - 1), và (n + 1) là chẵn, do đó (n-1)(n+1) sẽ chia hết cho 4. Nên (n-1)n(n+1) chia hết cho 12, dẫn đến [(n-1)n(n+1)]n cũng chia hết cho 12.

-----------------------

Các bài khác có thể làm với tiêu chí tương tự. Bạn có thể thử sức để giải, nếu không tự tin về tính đúng đắn của bài chứng minh, bạn có thể post, và mình sẽ kiểm tra giúp bạn.

Thân,

nếu bài này em tách ra là [TEX](n^2- 2n+ 2n)(n-1)(n+1) [/TEX]

[TEX]n(n-2)(n-1)(n+1)+ 2n(n+1)(n-1)[/TEX]

xét từng hạng tử đều chia hết cho 12 nên tổg chia hết cho 12

cách này được chứ ạ?


còn cái phần b thì em chỉ phân tích được đến cái đoạn [TEX]n^2(n^2-1)(n^2+1)[/TEX]

nấu em phân tích chỗ này thì nó chả ra cái gì hết (

 

[duynhan1]

b) [TEX]n^2(n^4 -1)[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]60

Từ bài đầu ta dễ dàng suy ra : [TEX]n^2( n^4 - 1) = n^2(n^2-1)(n^2+1) \vdots 12[/TEX]

Lại có : [TEX]n^2 \equiv [0; 1; -1] (mod 5) [/TEX]

[TEX]\Rightarrow [/TEX] Trong 3 số [TEX](n^2+1) ; (n^2-1) ; n^2[/TEX] có ít nhất 1 số chia hết cho 5 nên ta có điều phải chứng minh.

 

[bonoxofut]

nếu bài này em tách ra là [TEX](n^2- 2n+ 2n)(n-1)(n+1) [/TEX]

[TEX]n(n-2)(n-1)(n+1)+ 2n(n+1)(n-1)[/TEX]

xét từng hạng tử đều chia hết cho 12 nên tổg chia hết cho 12

Hoàn hảo. :x

cách này được chứ ạ?


còn cái phần b thì em chỉ phân tích được đến cái đoạn [TEX]n^2(n^2-1)(n^2+1)[/TEX]

nấu em phân tích chỗ này thì nó chả ra cái gì hết (

Thông thường để chứng minh 1 biểu thức nào đó là chia hết cho 1 số nguyên tố p (p = 2, 3, 5, 7, ...), ta sẽ tách nó ra làm tích của p số nguyên liên tiếp.

Để chứng minh chia hết cho 60, ta sẽ chứng minh nó chia hết cho 3, 4, và 5.

[TEX]x^2(n^2-1)(n^2+1) = n^2(n-1)(n+1)(n^2+1)[/TEX]

(n - 1)n(n+1) là tích 3 số nguyên liên tiếp, nhưng trong bài này ta muốn chứng minh nó chia hết cho 5, tức là cần thêm 2 số ở 2 đầu. Ta tách [TEX]n^2+1=n^2-4+5[/TEX]
[TEX]x^2(n^2-1)(n^2+1) = n^2(n-1)(n+1)(n^2+1) = n^2(n-1)(n+1)(n^2-4+5)[/TEX]
[TEX]n^2(n-1)(n+1)(n^2-4) + 5n^2(n-1)(n+1) = n^2(n-2)(n-1)(n+1)(n+2) + 5n^2(n-1)(n+1)[/TEX]

Em làm tiếp đc chứ?

 

[clover_green]

Chứng minh với n là số nguyên
a) [TEX]3n^4- 14n^3+ 21n^2- 10n[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]24

Cái bài này thì đầu tiên là phân tích
[TEX]3n^4- 3n^3- 11n^3 + 11n^2+ 10n^2+ 10n[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3n^3(n-1)- 11n^2(n-1)+ 10n(n-1)[/TEX]
...........
\Leftrightarrown[TEX](n-1)(n-2)(3n-5)[/TEX] đến đây thì mìh tịt
cái này chỉ chia hết đc cho 3 thôi, còn cho em hỏi làm thế nào để chia hết cho 8 nhỉ?
Selena làm đc chưa?

 

[bonoxofut]

Cái bài này thì đầu tiên là phân tích
[TEX]3n^4- 3n^3- 11n^3 + 11n^2+ 10n^2+ 10n[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]3n^3(n-1)- 11n^2(n-1)+ 10n(n-1)[/TEX]
...........
\Leftrightarrown[TEX](n-1)(n-2)(3n-5)[/TEX] đến đây thì mìh tịt
cái này chỉ chia hết đc cho 3 thôi, còn cho em hỏi làm thế nào để chia hết cho 8 nhỉ?
Selena làm đc chưa?

Cũng tương tự như cách trên, chúng ta sẽ tách ra thành tổng của 2 cụm chia hết cho 8. n(n - 1)(n - 2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3, mình sẽ giữ nguyên phần này. Còn phần 3n-5 chưa vận dụng vào đâu nên sẽ ráng tách ra sao cho nó có khả năng chia hết cho 8. Tức là tách 3n-5 = 3n+3-8

Vậy ta có:
[TEX]n(n-1)(n-2)(3n-5) = n(n-1)(n-2)(3n+3-8)=3n(n-1)(n-2)(n+1) - 8n(n-1)(n-2)[/TEX]

Để ý thấy: n(n-1)(n-2)(n+1) là tích 4 số nguyên liên tiếp, nó có chia hết cho 8 không nhỉ?

 

[clover_green]

tích 4 số nguyên liên tiếp em tưởng chỉ chia hết cho 4 thôi chứ ạ?

 

[bonoxofut]

tích 4 số nguyên liên tiếp em tưởng chỉ chia hết cho 4 thôi chứ ạ?

Trong 4 số nguyên liên tiếp sẽ có 1 số chia hết cho 4. Loại số đó ra khỏi 4 số thì chắc chắn trong tích 3 số còn lại vẫn còn 1 tích của 2 số nguyên liên tiếp, tích này sẽ chia hết cho 2.

Chẳng hạn nếu n chia hết cho 4, loại n ra, còn lại (n-2)(n-1)(n+1) thì (n-2)(n-1) là tích 2 số nguyên liên tiếp, sẽ chia hết cho 2. Vậy (n-2)(n-1)n(n+1) chia hết cho 8.

Đây là 1 cách chứng minh. Có bạn nào còn cách chứng minh khác gọn hơn không?

 

[selena142]

nhưg mà 4 chia đc cho 2 mà, cùg thừa số nguyên tố

sao chứg mih thế đc ạ!!!!

em k hỉu nhắm

@clover: cũg chỉ làm đc đến đây là tịt ếu

 

[doigiaythuytinh]

nhưg mà 4 chia hết mà

sao chứg mih thế đc ạ!!!!

em k hỉu nhắm

@clover: cũg chỉ làm đc đến đây là tịt ếu

Nếu [TEX]a \ \ \vdots \ \ x \ \ and\ \ b\ \ \vdots \ \ y \Rightarrow ab \ \ \vdots \ \ xy[/TEX]

 

[selena142]

em phân tích thế này ạ!

n( n -1 )( n - 2 )( 3n - 5 )= n(n -1)(n - 2) (3n -9 +4) =3n(n -1)(n- 2)(n - 3)+4n(n - 1)(n -2)

3n(n -1)(n- 2)(n - 3) chia hết cho 12

4n(n - 1)(n -2) cũng chia hết cho 12

cách này đc chứ ạ?

 

[bonoxofut]

em phân tích thế này ạ!

n( n -1 )( n - 2 )( 3n - 5 )= n(n -1)(n - 2) (3n -9 +4) =3n(n -1)(n- 2)(n - 3)+4n(n - 1)(n -2)

3n(n -1)(n- 2)(n - 3) chia hết cho 12

4n(n - 1)(n -2) cũng chia hết cho 12

cách này đc chứ ạ?

Nhưng em chỉ CM đc nó chia hết cho 12. Đề yêu cầu là cho 24 mà?

---------------------------------------------

Còn về vụ chia hết cho 8 em hỏi thì:

​

Do đó: xy = (ab)(pq), nên:

Nghĩa là:

Chú ý: Mệnh đề trên hoàn toàn khác với mệnh đề dưới nha:
​

​

 

[sicky]

mình có cách cm sau,mọi người xem sao nhé:
trong tích 4 số nguyên liên tiếp hẳn có 2 số chẵn liên tiếp
gsử số chẵn thứ nhất là 2n thì số chẵn thứ 2 là 2n+2
2n(2n+2)=4n(n+1)
n(n+1)chia hết cho 2 nên 4n(n+1)chia hết cho 8
ok?|

 

[selena142]

em quên mất
nó chia hết cho 24 nhỉ
thế thì xem ra chỉ còn mỗi cách ấy là hợp lí nhất
àh, có thể cho em 1 số cách thêm bớt để chia hết khôg?

 

[bonoxofut]

em quên mất
nó chia hết cho 24 nhỉ
thế thì xem ra chỉ còn mỗi cách ấy là hợp lí nhất
àh, có thể cho em 1 số cách thêm bớt để chia hết khôg?

Em thử làm cái bài cuối, chia chẵn cho 120 xem. :-">- Nếu làm xong rồi thì để anh kiếm mấy bài dạng tương tự cho mà luyện. ;

 

[sicky]

mình có 1 số bài,mọi người vừa giúp mình,vừa thử sức luôn nhé
1.Cm với n nguyên ta có:
a)n^3+11nchia hết cho 6
b)n(n+1)(2n+1)chia hết cho 6
2.Cm tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
3.Cm với n\geq1,k là số tự nhiên lẻ thì:
1^k+2^k+3^k+...+n^k chia hết cho 1+2+3+...+n

 

[bonoxofut]

mình có 1 số bài,mọi người vừa giúp mình,vừa thử sức luôn nhé
1.Cm với n nguyên ta có:
a)n^3+11chia hết cho 6

Bài này bị sai đề rồi bạn, không thể chia hết cho cả 2, và 3. Ví dụ với n = 2, ta có:

Xem lại đề nha bạn.

Thân,

 

[selena142]

b)[TEX]n^5- 5n^3+ 4n[/TEX][TEX]\vdots[/TEX]120

:-j

thế ạ
vậy thì tốt quá

mấy cái dạg này em nắm k vữg lắm đâu

[TEX]n^5- 5n^3+ 4n[/TEX]

=[TEX]n^5- n^3- 4n^3+ 4n[/TEX]= [TEX]n^3(n^2-1) - 4n(n^2-1)[/TEX]=[TEX](n-1)(n+1)n(n-2)(n+2)[/TEX]

tích 5 số nguyên liên thì chia hết cho 120

 

[selena142]

em đag học đến dạg bài kiểu này

VD: CMR [TEX]6^{2n}[/TEX] +[TEX]19^n [/TEX] - [TEX]2^{n+1}[/TEX] chia hết cho 17

nhữg dạg này em chưa học bao giờ nên chả quen làm ạ!

có thể chỉ cho em cách nào để có thể nhận ra cách tách cho hợp lí k ạ!