- 24 Tháng mười 2018
- 1,616
- 1,346
- 216
- 25
- TP Hồ Chí Minh
- Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian bao gồm 3 trục Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc với nhau.
.png)
- Trong đó:
+ gốc tọa độ O(0;0;0)
+ Các trục tọa độ: Ox: trục hoành
Oy: trục tung
Oz: trục cao
+ các mặt phẳng tọa độ: (Oxy), (Oyz) và (Oyz) đôi một vuông góc với nhau.
+ [tex]\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}[/tex] là các vector đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy và Oz và đôi một vuông góc.
+ [tex]\overrightarrow{i}=(1;0;0),\overrightarrow{j}=(0;1;0),\overrightarrow{k}=(0;0;1)[/tex].
2. tọa độ điểm trong không gian
- với M là 1 điểm trong không gian có tọa độ điểm là M(x;y;z), trong đó:
+ x là hoành độ ( giá trị trên trục hoành )
+ y là tung độ ( giá trị trên trục tung )
+ z là cao độ ( giá trị trên trục cao )
- điểm M(x;y;z) còn có thể được biểu diễn dưới dạng vector: [tex]\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}[/tex]
* Trường hợp đặc biệt:
+ M nằm trên trục Ox: M(x;0;0)
+ M nằm trên trục Oy: M(0;y;0)
+ M nằm trên trục Oz: M(0;0;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxy): M(x;y;0)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oyz): M(0;y;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxz): M(x;0;z)
3. các tính chất cần nhớ
cho [tex]\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3), \overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)[/tex] và số k tùy ý.
a. tổng 2 vector là 1 vector
[tex]\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)[/tex]
b. tích của 1 vector với 1 số thực là 1 vector
[tex]k.\overrightarrow{a}=(k.a_1;k.a_2;k.a_3)[/tex].
c. độ dài vector
[tex]|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}[/tex]
d. tích 2 vector
- tích có hướng: [tex][\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_3 &a_1 \\ b_3 &b_1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})[/tex]
- tích vô hướng: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3[/tex]
d. góc hợp bởi 2 vector:
[tex]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
[tex]sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
* một số tính chất của tích có hướng:
+ [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] cùng phương [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}[/tex]
+ 3 vector[tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}[/tex] [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0[/tex]
+ [tex]|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.sin(\overrightarrow{a},)[/tex]
* Ứng dụng của tích có hướng:
+ diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}]|[/tex]
+ diện tích hình tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]|[/tex]
+ thể tích khối hộp: [tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'}|[/tex]
+ thể tích tứ diện ABCD: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|[/tex]
II. Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng
- đường thẳng d qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{u}(a;b;c)[/tex] làm vector chỉ phương có phương trinh:
[tex]\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right.[/tex]
- với a, b, c khác 0. phương trình có thể được viết dưới dạng chính tắc:
[tex]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/tex]
2. phương trình mặt phẳng
- mặt phẳng (P) qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{n}(A;B;C)[/tex] làm vector pháp tuyến có phương trình tổng quát: [tex]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0[/tex]
- nếu mặt phẳng chứa 2 đường thẳng phân biệt, thì vector pháp tuyến của (P) chính là tích có hướng 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng.
- phương trình theo mặt chắn: mặt phẳng (P) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) có phương trình: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
3. khoảng cách từ 1 điểm đến một phẳng phẳng
khoảng cách từ điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] đến mặt phẳng (P) có phương trình [tex]Ax+By+Cz+D=0[/tex] là:
[tex]d(M,(P))=\frac{Ax_0+By_0+C_z_0+D}{\sqrt{(A^2+B^2+C^2)}}[/tex]
1. Hệ trục tọa độ trong không gian bao gồm 3 trục Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc với nhau.
- Trong đó:
+ gốc tọa độ O(0;0;0)
+ Các trục tọa độ: Ox: trục hoành
Oy: trục tung
Oz: trục cao
+ các mặt phẳng tọa độ: (Oxy), (Oyz) và (Oyz) đôi một vuông góc với nhau.
+ [tex]\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}[/tex] là các vector đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy và Oz và đôi một vuông góc.
+ [tex]\overrightarrow{i}=(1;0;0),\overrightarrow{j}=(0;1;0),\overrightarrow{k}=(0;0;1)[/tex].
2. tọa độ điểm trong không gian
- với M là 1 điểm trong không gian có tọa độ điểm là M(x;y;z), trong đó:
+ x là hoành độ ( giá trị trên trục hoành )
+ y là tung độ ( giá trị trên trục tung )
+ z là cao độ ( giá trị trên trục cao )
- điểm M(x;y;z) còn có thể được biểu diễn dưới dạng vector: [tex]\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}[/tex]
* Trường hợp đặc biệt:
+ M nằm trên trục Ox: M(x;0;0)
+ M nằm trên trục Oy: M(0;y;0)
+ M nằm trên trục Oz: M(0;0;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxy): M(x;y;0)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oyz): M(0;y;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxz): M(x;0;z)
3. các tính chất cần nhớ
cho [tex]\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3), \overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)[/tex] và số k tùy ý.
a. tổng 2 vector là 1 vector
[tex]\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)[/tex]
b. tích của 1 vector với 1 số thực là 1 vector
[tex]k.\overrightarrow{a}=(k.a_1;k.a_2;k.a_3)[/tex].
c. độ dài vector
[tex]|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}[/tex]
d. tích 2 vector
- tích có hướng: [tex][\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_3 &a_1 \\ b_3 &b_1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})[/tex]
- tích vô hướng: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3[/tex]
d. góc hợp bởi 2 vector:
[tex]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
[tex]sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
* một số tính chất của tích có hướng:
+ [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] cùng phương [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}[/tex]
+ 3 vector[tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}[/tex] [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0[/tex]
+ [tex]|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.sin(\overrightarrow{a},)[/tex]
* Ứng dụng của tích có hướng:
+ diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}]|[/tex]
+ diện tích hình tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]|[/tex]
+ thể tích khối hộp: [tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'}|[/tex]
+ thể tích tứ diện ABCD: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|[/tex]
II. Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng
- đường thẳng d qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{u}(a;b;c)[/tex] làm vector chỉ phương có phương trinh:
[tex]\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right.[/tex]
- với a, b, c khác 0. phương trình có thể được viết dưới dạng chính tắc:
[tex]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/tex]
2. phương trình mặt phẳng
- mặt phẳng (P) qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{n}(A;B;C)[/tex] làm vector pháp tuyến có phương trình tổng quát: [tex]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0[/tex]
- nếu mặt phẳng chứa 2 đường thẳng phân biệt, thì vector pháp tuyến của (P) chính là tích có hướng 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng.
- phương trình theo mặt chắn: mặt phẳng (P) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) có phương trình: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
3. khoảng cách từ 1 điểm đến một phẳng phẳng
khoảng cách từ điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] đến mặt phẳng (P) có phương trình [tex]Ax+By+Cz+D=0[/tex] là:
[tex]d(M,(P))=\frac{Ax_0+By_0+C_z_0+D}{\sqrt{(A^2+B^2+C^2)}}[/tex]
