Toán 12 Tọa độ trong không gian và kiến thức cần nhớ

Sweetdream2202

Cựu Cố vấn Toán
Thành viên
24 Tháng mười 2018
1,616
1,344
216
22
TP Hồ Chí Minh
Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

I. Hệ tọa độ trong không gian
1. Hệ trục tọa độ trong không gian bao gồm 3 trục Ox, Oy và Oz đôi một vuông góc với nhau.

image(145).png

- Trong đó:
+ gốc tọa độ O(0;0;0)
+ Các trục tọa độ: Ox: trục hoành
Oy: trục tung
Oz: trục cao
+ các mặt phẳng tọa độ: (Oxy), (Oyz) và (Oyz) đôi một vuông góc với nhau.
+ [tex]\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}[/tex] là các vector đơn vị lần lượt nằm trên các trục Ox, Oy và Oz và đôi một vuông góc.
+ [tex]\overrightarrow{i}=(1;0;0),\overrightarrow{j}=(0;1;0),\overrightarrow{k}=(0;0;1)[/tex].
2. tọa độ điểm trong không gian
- với M là 1 điểm trong không gian có tọa độ điểm là M(x;y;z), trong đó:
+ x là hoành độ ( giá trị trên trục hoành )
+ y là tung độ ( giá trị trên trục tung )
+ z là cao độ ( giá trị trên trục cao )
- điểm M(x;y;z) còn có thể được biểu diễn dưới dạng vector: [tex]\overrightarrow{OM}=x.\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}[/tex]
* Trường hợp đặc biệt:
+ M nằm trên trục Ox: M(x;0;0)
+ M nằm trên trục Oy: M(0;y;0)
+ M nằm trên trục Oz: M(0;0;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxy): M(x;y;0)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oyz): M(0;y;z)
+ M nằm trong mặt phẳng (Oxz): M(x;0;z)
3. các tính chất cần nhớ
cho [tex]\overrightarrow{a}=(a_1;a_2;a_3), \overrightarrow{b}=(b_1;b_2;b_3)[/tex] và số k tùy ý.
a. tổng 2 vector là 1 vector
[tex]\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=(a_1\pm b_1;a_2\pm b_2;a_3\pm b_3)[/tex]
b. tích của 1 vector với 1 số thực là 1 vector
[tex]k.\overrightarrow{a}=(k.a_1;k.a_2;k.a_3)[/tex].
c. độ dài vector
[tex]|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}[/tex]
d. tích 2 vector
- tích có hướng: [tex][\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=(\begin{vmatrix} a_2 &a_3 \\ b_2 &b_3 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_3 &a_1 \\ b_3 &b_1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} a_1 &a_2 \\ b_1 &b_2 \end{vmatrix})[/tex]
- tích vô hướng: [tex]\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=a_1.b_1+a_2.b_2+a_3.b_3[/tex]
d. góc hợp bởi 2 vector:
[tex]cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
[tex]sin(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|}{|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|}[/tex]
* một số tính chất của tích có hướng:
+ [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/tex] cùng phương [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]=\overrightarrow{0}[/tex]
+ 3 vector[tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}[/tex] [tex]<=>[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}].\overrightarrow{c}=0[/tex]
+ [tex]|[\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}]|=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.sin(\overrightarrow{a},)[/tex]
* Ứng dụng của tích có hướng:
+ diện tích hình bình hành ABCD: [tex]S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}]|[/tex]
+ diện tích hình tam giác ABC: [tex]S_{ABC}=\frac{1}{2}.|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}]|[/tex]
+ thể tích khối hộp: [tex]V_{ABCD.A'B'C'D'}=|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'}|[/tex]
+ thể tích tứ diện ABCD: [tex]V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|[/tex]
II. Phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
1. Phương trình đường thẳng

- đường thẳng d qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{u}(a;b;c)[/tex] làm vector chỉ phương có phương trinh:
[tex]\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct \end{matrix}\right.[/tex]
- với a, b, c khác 0. phương trình có thể được viết dưới dạng chính tắc:
[tex]\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}[/tex]
2. phương trình mặt phẳng
- mặt phẳng (P) qua [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] và nhận [tex]\overrightarrow{n}(A;B;C)[/tex] làm vector pháp tuyến có phương trình tổng quát: [tex]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0[/tex]
- nếu mặt phẳng chứa 2 đường thẳng phân biệt, thì vector pháp tuyến của (P) chính là tích có hướng 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng.
- phương trình theo mặt chắn: mặt phẳng (P) cắt 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A(a;0;0), B(0;b;0) và C(0;0;c) có phương trình: [tex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1[/tex]
3. khoảng cách từ 1 điểm đến một phẳng phẳng
khoảng cách từ điểm [tex]M(x_0;y_0;z_0)[/tex] đến mặt phẳng (P) có phương trình [tex]Ax+By+Cz+D=0[/tex] là:
[tex]d(M,(P))=\frac{Ax_0+By_0+C_z_0+D}{\sqrt{(A^2+B^2+C^2)}}[/tex]
 
Top Bottom