Toán 12 Tính tích phân hàm ẩn khó

[superchemist]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số [tex]f(x)[/tex] liên tục trên đoạn [tex][0;1][/tex] thỏa mãn [tex]4x.f(x^{2})+3f(1-x)=\sqrt{1-x^{2}}[/tex]. Tính [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex].
A. [tex]\frac{\Pi }{16}[/tex]
B. [tex]\frac{\Pi }{4}[/tex]
C. [tex]\frac{\Pi }{20}[/tex]
D. [tex]\frac{\Pi }{6}[/tex]
Giải giúp e với ạ ? e cảm ơn trước !!!

 

[Alice_www]

Cho hàm số [tex]f(x)[/tex] liên tục trên đoạn [tex][0;1][/tex] thỏa mãn [tex]4x.f(x^{2})+3f(1-x)=\sqrt{1-x^{2}}[/tex]. Tính [tex]\int_{0}^{1}f(x)dx[/tex].
A. [tex]\frac{\Pi }{16}[/tex]
B. [tex]\frac{\Pi }{4}[/tex]
C. [tex]\frac{\Pi }{20}[/tex]
D. [tex]\frac{\Pi }{6}[/tex]
Giải giúp e với ạ ? e cảm ơn trước !!!

Đặt $t=x^2\Rightarrow dt=2xdx$
$\int \limits_0^1 4xf(x^2)=\int \limits_0^1 2f(t)dt=\int \limits_0^1 2f(x)dx$
$a=1-x\Rightarrow da=-dx$
$\int \limits_0^1 3f(1-x)dx=\int \limits_1^0 3f(a)(-da)=\int \limits_0^1 3f(x)dx$
Đặt $x=\sin u\Rightarrow dx=\cos udu$
$\int \limits_0^1 \sqrt{1-x^2}dx=\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin u^2}\cos u du$
$=\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2u du=\int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{1+\cos 2x}{2}$
$=\dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4}\Big|^{\frac{\pi}{2}}_0=\dfrac{\pi}{4}$
Ta có: $4xf(x^2)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$
$\Rightarrow \int \limits_0^1[4xf(x^2)+3f(1-x)]= \int \limits_0^1 \sqrt{1-x^2}$
$\Rightarrow 5\int \limits_0^1 f(x)dx=\dfrac{\pi}{4}$
$\Rightarrow \int \limits_0^1 f(x)dx=\dfrac{\pi}{20}$
Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé <3
Ngoài ra em tham khảo thêm kiến thức tại topic này nhé: https://diendan.hocmai.vn/threads/on-thi-hk-ham-so-phuong-trinh-luong-giac.844961/