Toán 12 Tính nguyên hàm

[minhloveftu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hàm số [imath]y=f(x)[/imath] có đạo hàm và liên tục trên [imath]\left[0,\dfrac{\pi}2\right][/imath] thỏa mãn [imath]f(x)=f'(x)-2\cos x[/imath]. Biết [imath]f(\frac{\pi}2)=1[/imath]. Tính giá trị [imath]f(\frac{\pi}6)[/imath]

giúp em câu này dễ hiểu với ạ

 

[Alice_www]

[imath]f'(x)-f(x)=2\cos x[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{f'(x)e^x-f(x)e^x}{e^{2x}}=\dfrac{2\cos x}{e^x}[/imath]
[imath]\Rightarrow \displaystyle \int \dfrac{f'(x)e^x-f(x)e^x}{e^{2x}}= \displaystyle \int \dfrac{2\cos x}{e^x}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{f(x)}{e^x}+c= \displaystyle \int 2\cos x e^{-x}[/imath]

Đặt [imath]u=\cos x \Rightarrow du=-\sin xdx[/imath]
[imath]dv=e^{-x}[/imath] Chọn [imath]v=-e^{-x}[/imath]

[imath]\displaystyle \int \cos x e^{-x}dx=-\cos xe^{-x}-\displaystyle \int \sin xe^{-x}dx[/imath]

Tương tự ta có: [imath]\displaystyle \int \sin xe^{-x} =-e^{-x}\sin x+\displaystyle \int \cos xe^{-x}dx[/imath]

Suy ra [imath]2\displaystyle \int \cos x e^{-x}dx=-\cos xe^{-x}+e^{-x}\sin x[/imath]

Suy ra [imath]\dfrac{f(x)}{e^x}+c=-\cos xe^{-x}+e^{-x}\sin x\Rightarrow f(x)=-\cos x+\sin x-ce^{-x}[/imath]

[imath]f(\frac{\pi}2)=1\Rightarrow c=0[/imath]

Suy ra [imath]f(x)=-\cos x+\sin x\Rightarrow f(\frac{\pi}6)=\dfrac{1-\sqrt3}2[/imath]

Có gì khúc mắc em hỏi lại nhé
Ngoài ra em xem thêm tại Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng