Toán 11 Tính giới hạn dãy số

[Nguyễn Duy Hạo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $(u_n)$ xác định bởi $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{2} \\ u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1} \end{cases}$. Đặt $s_n=u_1+u_2+...+u_n$. Tìm $\lim s_n$

 

[7 1 2 5]

Ta có: $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1}=1+\dfrac{u_n-1}{u_n^2-u_n+1}$
$\Rightarrow u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n^2-u_n+1}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n^2-u_n+1}{u_n-1}=u_n+\dfrac{1}{u_n-1}$
$\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1}$
Từ đó $s_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1}+\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n-1}-1}+...+\dfrac{1}{u_2-1}-\dfrac{1}{u_1-1}$
$=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_1-1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}+2$
Đến đây để tìm $\lim s_n$ ta chỉ cần tính $\lim u_n$
Nhận thấy $u_n>0 \forall n$
Ta có: $u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1}-u_n=\dfrac{-u_n^3+2u_n^2-u_n}{u_n^2-u_n+1}=\dfrac{-u_n(u_n-1)^2}{u_n^2-u_n+1}<0$
$\Rightarrow (u_n)$ giảm
Mà $(u_n)$ bị chặn dưới nên $(u_n)$ hội tụ.
Đặt $l=\lim u_n (l \geq 0)$.
Vì $u_n<u_1=\dfrac{1}{2}$ và $(u_n)$ giảm nên $l<1$.
Từ hệ thức truy hồi, cho $n \to +\infty$ ta được: $l=\dfrac{l^2}{l^2-l+1} \Leftrightarrow l\cdot \dfrac{(l-1)^2}{l^2-l+1}=0 \Leftrightarrow l=0$.
Từ đó $\lim u_n=0 \Rightarrow \lim s_n=\dfrac{1}{0-1}+2=1$

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Giới hạn dãy số