Ta có: [imath]u_{n+1}=\dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1}=1+\dfrac{u_n-1}{u_n^2-u_n+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n^2-u_n+1}[/imath]
[imath]\Rightarrow \dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n^2-u_n+1}{u_n-1}=u_n+\dfrac{1}{u_n-1}[/imath]
[imath]\Rightarrow u_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1}[/imath]
Từ đó [imath]s_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_n-1}+\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n-1}-1}+...+\dfrac{1}{u_2-1}-\dfrac{1}{u_1-1}[/imath]
[imath]=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}-\dfrac{1}{u_1-1}=\dfrac{1}{u_{n+1}-1}+2[/imath]
Đến đây để tìm [imath]\lim s_n[/imath] ta chỉ cần tính [imath]\lim u_n[/imath]
Nhận thấy [imath]u_n>0 \forall n[/imath]
Ta có: [imath]u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n^2}{u_n^2-u_n+1}-u_n=\dfrac{-u_n^3+2u_n^2-u_n}{u_n^2-u_n+1}=\dfrac{-u_n(u_n-1)^2}{u_n^2-u_n+1}<0[/imath]
[imath]\Rightarrow (u_n)[/imath] giảm
Mà [imath](u_n)[/imath] bị chặn dưới nên [imath](u_n)[/imath] hội tụ.
Đặt [imath]l=\lim u_n (l \geq 0)[/imath].
Vì [imath]u_n<u_1=\dfrac{1}{2}[/imath] và [imath](u_n)[/imath] giảm nên [imath]l<1[/imath].
Từ hệ thức truy hồi, cho [imath]n \to +\infty[/imath] ta được: [imath]l=\dfrac{l^2}{l^2-l+1} \Leftrightarrow l\cdot \dfrac{(l-1)^2}{l^2-l+1}=0 \Leftrightarrow l=0[/imath].
Từ đó [imath]\lim u_n=0 \Rightarrow \lim s_n=\dfrac{1}{0-1}+2=1[/imath]
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
Giới hạn dãy số
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
