Toán 9 Tìm $x,y,z$ nguyên dương thỏa mãn : $xy+yz+xz+1$ chia hết cho $xyz$

Thảo luận trong 'Tổng hợp Đại số' bắt đầu bởi Cheems, 29 Tháng mười một 2021.

Lượt xem: 78

  1. Cheems

    Cheems Học sinh chăm học Thành viên

    Bài viết:
    535
    Điểm thành tích:
    101
    Nơi ở:
    Hà Nội
    Trường học/Cơ quan:
    THCS ko noi
    [TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn

    [NÓNG!!!] Mừng Tết Xanh - Tranh Quà Khủng


    Bạn đang TÌM HIỂU về nội dung bên dưới? NẾU CHƯA HIỂU RÕ hãy ĐĂNG NHẬP NGAY để được HỖ TRỢ TỐT NHẤT. Hoàn toàn miễn phí!

    Tìm x,y,z nguyên dương TM : xy+yz+xz+1 chia hết cho xyz
     
    Timeless time thích bài này.
  2. Mộc Nhãn

    Mộc Nhãn TMod Toán Cu li diễn đàn

    Bài viết:
    5,981
    Điểm thành tích:
    866
    Nơi ở:
    Hà Tĩnh
    Trường học/Cơ quan:
    THPT Chuyên Hà Tĩnh

    Ta thấy [tex]xy+yz+zx+1 \vdots xyz \Rightarrow xy+yz+zx+1 \geq xyz[/tex]
    Không mất tính tổng quát giả sử [TEX]x \geq y \geq z[/TEX]
    Lại có: [TEX]x,y,z \geq 1 \Rightarrow xy,yz,zx \leq xyz \Rightarrow xy+yz+zx < 4xyz[/TEX]
    Từ đó ta xét các trường hợp:
    + [TEX]xy+yz+zx+1=xyz \Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1[/TEX]
    Nhận thấy [TEX]1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz} \leq \frac{3}{z}+\frac{1}{z^3} \Rightarrow z^3 \leq 3z^2+1 \Rightarrow z \leq 3 [/TEX]
    Nếu [TEX]z=3 \Rightarrow xy+3x+3y+1=3xy \Rightarrow 2xy-3x-3y=1 \Rightarrow 4xy-6x-6y+9=11 \Rightarrow (2x-3)(2y-3)=11 \Rightarrow 2x-3=11,2y-3=1 \Rightarrow x=7,y=2[/TEX]
    Nếu [TEX]z=2 \Rightarrow xy+2x+2y+1=2xy \Rightarrow xy-2x-2y=1 \Rightarrow (x-2)(y-2)=5 \Rightarrow x-2=5, y-2=1 \Rightarrow x=7,y=3[/TEX]
    Tương tự xét các trường hợp còn lại.

    Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
    Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
     
    Cheems, Timeless timekido2006 thích bài này.
Chú ý: Trả lời bài viết tuân thủ NỘI QUY. Xin cảm ơn!

Draft saved Draft deleted

CHIA SẺ TRANG NÀY