Trog mp [TEX]Oxy[/TEX] cho tam giác [TEX]ABC[/TEX] có [TEX]A(-3,6)[/TEX], trực tâm [TEX]H(2,1)[/TEX], trọng tâm [TEX]G(4/3,7/3).[/TEX] Xđ tọa độ các đỉnh [TEX]B, C[/TEX]?
Giúp mình vs ha!
[TEX]+[/TEX]Đây là một bài toán khá đơn giản nhưng nếu ta không tỉnh táo lập tức sẽ rơi vào vòng lẩn quẩn ngay.
[TEX]+[/TEX]Mình kí hiệu bằng điểm cho gọn nha
[TEX] G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}\Leftrightarrow{M=\frac{3G-A}{2}[/TEX]
[TEX]+[/TEX]Ở đây [TEX]A,G,M [/TEX]cố định do đó nếu[TEX] M=\frac{B+C}{2}[/TEX] thì đương nhiện [TEX]G[/TEX] sẽ là trọng tâm tam giác [TEX]ABC[/TEX],nếu ta áp dụng tiếp [TEX]G=\frac{A+B+C}{3}[/TEX] hoặc bất cứ phương trình trung điểm nào khác thì sẽ bị trùng ngay.[TEX]B,M,C [/TEX]cùng thuộc một đường thẳng (mà ta rút ẩn) do đó nếu chuyển ẩn giải thì chỉ cần hoành độ thoã mãn điều kiện trung điểm là đủ ,tung độ tự nhiên sẽ thoã.
[TEX]+ H[/TEX] chỉ nằm trên đường cao [TEX]AH[/TEX] nên chưa thoã mãn lả trực tâm do đó ta phải ép[TEX] BH [/TEX]vuông góc [TEX]AC[/TEX](hoặc [TEX]CH[/TEX] vuông góc [TEX]AB[/TEX]) thì [TEX]H[/TEX] mới là trực tâm được và phương trình giải ẩn nằm ở đây (không áp dụng điều kiện này sẽ không bao giờ ra do chưa thoã hết yêu cầu bài toán đặt ra)
Giải :
Dễ dàng tìm được [TEX]M(\frac{7}{2},\frac{1}{2}),\ \ \vec{AH}=(5,-5)[/TEX]
[TEX](BC):\ \ x-y-3=0[/TEX] [TEX]B,C\in{(BC)\Rightarrow{B(a,a-3),C(b,b-3) \ \ (a\neq{b})[/TEX]
[TEX]M[/TEX] là trung điểm [TEX]BC [/TEX]và [TEX]BH[/TEX] vuông góc [TEX]AC[/TEX] ta có hệ:
[TEX]\left{a+b=7\\(a-2)(b+3)+(a-4)(b-9)=0[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab-3(a+b)+15=0 [/TEX] [TEX]\Leftrightarrow{\left{a+b=7\\ab=6[/TEX][TEX]\Leftrightarrow{\left{{\left[a=1\\b=6}\\{\left[a=6\\b=1[/TEX]
Vậy [TEX]B(1,-2),C(6,3) [/TEX] hoặc [TEX]B(6,3),C(1,-2)[/TEX]