1. Ta thấy [TEX]y \geq 1[/TEX].
+ Nếu [TEX]y=1[/TEX] thì ta có [TEX]3^x=2^z-1[/TEX].
Xét tính chia hết cho 3 dễ thấy [TEX]z \vdots 2[/TEX]. Đặt [TEX]z=2k (k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
Ta có: [TEX]3^x=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)[/TEX]
Đặt [TEX]2^k-1=3^m, 2^k+1=3^n (m,n \in \mathbb{N}^*; m+n=z) [/TEX]
Ta có: [TEX]3^n-3^m=2 \Rightarrow n=1, m=1 \Rightarrow z=2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z=1[/TEX]. Từ đó ta có bộ [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX]
+ Nếu [TEX]y \geq 2[/TEX] thì ta có [TEX]2^z-2^y=3^x-1 > 0 \Rightarrow z >y[/TEX]
Lại có: [TEX]z>y \geq 2 \Rightarrow 3^x-1 \vdots 4 \Rightarrow x \vdots 2[/TEX]
Khi đó nếu [TEX]y \geq 4[/TEX] thì [TEX]3^x-1 \vdots 16 \Rightarrow x \vdots 4[/TEX]
[TEX]x=4q\Rightarrow 2^z-2^y=81^q-1\equiv 0(\text{mod 5})\Rightarrow 2^z-2^y\vdots 5\Rightarrow 2^y(2^{z-y}-1)\vdots 5[/TEX]
Từ đó [TEX]2^{z-y}-1 \vdots 5 \Rightarrow z-y=4k+2 \Rightarrow z-y \vdots 2 \Rightarrow 2^{z-y}-1 \vdots 3[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3^x-1 \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Suy ra [TEX]2 \leq y \leq 3[/TEX].
Nếu [TEX]y=2[/TEX] thì [TEX]3^x+3 =2^z \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Nếu [TEX]y=3[/TEX] thì [TEX]3^x+7=2^z[/TEX]. Xét đồng dư với 3 nên [TEX]z \vdots 2[/TEX].
Đặt [TEX]x=2m,z=2n \Rightarrow 2^{2n}-3^{2m}=7 \Rightarrow (2^n-3^m)(2^n+3^m)=7[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^n-3^m=1,2^n+3^m=7 \Rightarrow n=2,m=1 \Rightarrow x=2,z=4[/TEX]
Vậy [TEX](x,y,z)=(1,1,2)[/TEX] hoặc [TEX](x,y,z)=(2,3,4)[/TEX]
2. Xét tính đồng dư với 3 ta được [TEX]z \vdots 2[/TEX].
Đặt [TEX]z=2k[/TEX] ta có [TEX]15^y=(2^k-x)(2^k+x)[/TEX]
Mà [TEX]2^{k+1} \vdots (2^k-x,2^k+x)[/TEX] nên [TEX](2^k-x,2^k+x)=1[/TEX]
Suy ra [TEX]2^k-x=1,2^k+x=15^y[/TEX] hoặc [TEX]2^k-x=3^y,2^k+x=5^y[/TEX]
+ [TEX]2^k-x=1,2^k+x=15^y \Rightarrow 15^y+1=2^{k+1} \vdots 4 \Rightarrow y \not \vdots 2[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 2^{k+1}=16.(15^{y-1}+15^{y-2}+...+15+1)[/TEX]
Dễ thấy [TEX]15^{y-1}+15^{y-2}+...+15+1 \not \vdots 2[/TEX] nên [TEX]2^{k+1}=16 \Rightarrow k=3 \Rightarrow x=7 \Rightarrow y=1[/TEX]
+ [TEX]2^k-x=3^y,2^k+x=5^y \Rightarrow 2^{k+1}=3^y+5^y[/TEX]
Xét đồng dư với 4 ta được [TEX]y[/TEX] lẻ.
[TEX]\Rightarrow 2^{k+1}=8(3^{y-1}+3^{y-2}.5+...+3.5^{y-2}+5^{y-1})[/TEX]
Vì[TEX]3^{y-1}+3^{y-2}.5+...+3.5^{y-2}+5^{y-1}[/TEX] lẻ nên [TEX]2^{k+1}=8 \Rightarrow k=2 \Rightarrow y=1 \Rightarrow x=1[/TEX].
Vậy [TEX](x,y,z)=(1,1,4)[/TEX] hoặc [TEX](x,y,z)=(7,1,6)[/TEX]
3. Vì [TEX]y \geq 1 \Rightarrow 2^{y+2} \vdots 8[/TEX]
Xét tính đồng dư với 8 ta được [TEX]z \vdots 2[/TEX].
Đặt [TEX]z=2k[/TEX] thì [TEX]5^{2k}-x^2=2^{y+2} \Rightarrow (5^k-x)(5^k+x)=2^{y+2}[/TEX]
Đặt [TEX]5^k-x=2^m,5^k+x=2^n(m,n \in \mathbb{N}^*; m+n=y+2 \geq 3;n>m)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 5^k=2^{m-1}+2^{n-1}[/TEX]
Từ đó thì [TEX]m=1 \Rightarrow 5^k=2^{n-1}+1[/TEX]
Với [TEX]n \geq 4[/TEX] thì [TEX]2^{n-1} \vdots 3[/TEX].
Xét tính đồng dư với 8 ta được [TEX]k \vdots 2 \Rightarrow 2^{n-1}=5^k-1 \vdots 3[/TEX](mâu thuẫn)
Từ đó[TEX]n \leq 3[/TEX]. Mà [TEX]2^{n-1}+1 \geq 5 \Rightarrow n=3 \Rightarrow y+2=4 \Rightarrow y=2 \Rightarrow k=1 \Rightarrow z=2 \Rightarrow x=3[/TEX]
Vậy [TEX](x,y,z)=(3,2,2)[/TEX]
Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
