Toán 7 Tìm số nguyên tố

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm các số nguyên tố thỏa mãn [tex]2^{p}+p^{2}[/tex] là số nguyên tố
@Magic Boy

 

[Darkness Evolution]

Tìm các số nguyên tố thỏa mãn [tex]2^{p}+p^{2}[/tex]
@Magic Boy

Đề bài hơi thiếu thì phải...

 

[Darkness Evolution]

Tìm các số nguyên tố thỏa mãn [tex]2^{p}+p^{2}[/tex] là số nguyên tố
@Magic Boy

Nếu $p=2$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=8[/tex] là hợp số (loại)
Nếu $p=3$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=17[/tex] là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu $p>3$ thì $p$ là số lẻ và $p$ không chia hết cho $3$
Khi đó, [tex]2 \equiv -1 (mod3)\Rightarrow 2^{p}\equiv (-1)^{2k+1}\equiv -1(mod3)[/tex] (Do p là số lẻ nên $p=2k+1; k \in \mathbb{N}^*$)
Do $p-1;p;p+1$ là 3 số tự nhiên liên tiếp
[tex]\Rightarrow (p-1)p(p+1)\vdots 3\Leftrightarrow p(p^2-1)\vdots 3[/tex]
Mà $p$ không chia hết cho $3$ nên $p^2-1 \vdots 3$
$\Rightarrow p^2\equiv 1 (mod3)$
$\Rightarrow p^2+2^p \equiv -1+1 =0(mod3)$
$\Leftrightarrow p^2+2^p \vdots (mod3)$
Mặt khác, dễ thấy $p^2+2^p>3$ nên nó là hợp số (loại)
Vậy, $p=3$

 

[Only Normal]

Bổ sung thêm cái : tìm tất cả số nguyên tố $p$ để $p^2 + 2^p$ là số nguyên tố
$TH1$ : $p$ là số chẵn $\Rightarrow p = 2$
$\Rightarrow 2^p + p^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$
Mà $8 \not\in P$ ( Không thỏa mãn )
$TH2$ : $p$ là số lẻ
a) Khi đó : $p \vdots 3 \rightarrow p = 3$
$\Rightarrow 2^p + p^2 = 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$ ( Thỏa mãn )
b) $p \vdots 3$ $\rightarrow p$ có dạng $3k +1$ hoặc $3k-1$
Khi đó :
$p^2 = (3k ± 1)^2 = (3k± 2k) . 3 + 1 : 3$ ( dư $1$)
$2^p = (-1)^p = (-1) ( mod 3 ) \Rightarrow p^2 + 2^p = 0 (mod 3)$
$\Rightarrow $ Không thỏa mãn vì $p^2 + 2^p > 3$ không thể là số nguyên tố
Vậy $p =3$