Nếu $p=2$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=8[/tex] là hợp số (loại) Nếu $p=3$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=17[/tex] là số nguyên tố (thỏa mãn) Nếu $p>3$ thì $p$ là số lẻ và $p$ không chia hết cho $3$ Khi đó, [tex]2 \equiv -1 (mod3)\Rightarrow 2^{p}\equiv (-1)^{2k+1}\equiv -1(mod3)[/tex] (Do p là số lẻ nên $p=2k+1; k \in \mathbb{N}^*$) Do $p-1;p;p+1$ là 3 số tự nhiên liên tiếp [tex]\Rightarrow (p-1)p(p+1)\vdots 3\Leftrightarrow p(p^2-1)\vdots 3[/tex] Mà $p$ không chia hết cho $3$ nên $p^2-1 \vdots 3$ $\Rightarrow p^2\equiv 1 (mod3)$ $\Rightarrow p^2+2^p \equiv -1+1 =0(mod3)$ $\Leftrightarrow p^2+2^p \vdots (mod3)$ Mặt khác, dễ thấy $p^2+2^p>3$ nên nó là hợp số (loại) Vậy, $p=3$
Bổ sung thêm cái : tìm tất cả số nguyên tố $p$ để $p^2 + 2^p$ là số nguyên tố $TH1$ : $p$ là số chẵn $\Rightarrow p = 2$ $\Rightarrow 2^p + p^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ Mà $8 \not\in P$ ( Không thỏa mãn ) $TH2$ : $p$ là số lẻ a) Khi đó : $p \vdots 3 \rightarrow p = 3$ $\Rightarrow 2^p + p^2 = 2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$ ( Thỏa mãn ) b) $p \vdots 3$ $\rightarrow p$ có dạng $3k +1$ hoặc $3k-1$ Khi đó : $p^2 = (3k ± 1)^2 = (3k± 2k) . 3 + 1 : 3$ ( dư $1$) $2^p = (-1)^p = (-1) ( mod 3 ) \Rightarrow p^2 + 2^p = 0 (mod 3)$ $\Rightarrow $ Không thỏa mãn vì $p^2 + 2^p > 3$ không thể là số nguyên tố Vậy $p =3$
