Tìm các số nguyên tố thỏa mãn [tex]2^{p}+p^{2}[/tex] là số nguyên tố
@Magic Boy
Nếu $p=2$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=8[/tex] là hợp số (loại)
Nếu $p=3$ thì [tex]2^{p}+p^{2}=17[/tex] là số nguyên tố (thỏa mãn)
Nếu $p>3$ thì $p$ là số lẻ và $p$ không chia hết cho $3$
Khi đó, [tex]2 \equiv -1 (mod3)\Rightarrow 2^{p}\equiv (-1)^{2k+1}\equiv -1(mod3)[/tex] (Do p là số lẻ nên $p=2k+1; k \in \mathbb{N}^*$)
Do $p-1;p;p+1$ là 3 số tự nhiên liên tiếp
[tex]\Rightarrow (p-1)p(p+1)\vdots 3\Leftrightarrow p(p^2-1)\vdots 3[/tex]
Mà $p$ không chia hết cho $3$ nên $p^2-1 \vdots 3$
$\Rightarrow p^2\equiv 1 (mod3)$
$\Rightarrow p^2+2^p \equiv -1+1 =0(mod3)$
$\Leftrightarrow p^2+2^p \vdots (mod3)$
Mặt khác, dễ thấy $p^2+2^p>3$ nên nó là hợp số (loại)
Vậy, $p=3$