Toán 9 Tìm nghiệm nguyên

[Vanhau1988]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Các bạn giúp câu 5b với
Câu $5(2,0$ diểm).
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trinh: $2 x^{2} y+3 x y+y=x^{2}+2 x y^{2}+3 x+1$.
b) Cho ba số thực $x, y, z$ thoả mãn các điều kiện: $x>0,5 x^{2}=y z, x+y+z=x y z$.
Chứng minh rằng: $x \geq \sqrt{\dfrac{1+2 \sqrt{5}}{5}}$.

 

[Blue Plus]

b. Ta có:
$xyz=5x^3$
$xyz-x=y+z\ge 2\sqrt{yz}=2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^3-x\ge 2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^2\ge 2\sqrt{5}+1$ (do $x>0$)
$\Rightarrow x^2\ge \dfrac{1+2\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow x\ge \sqrt{ \dfrac{1+2\sqrt{5}}{5}}$ (do $x>0$)
Nếu bạn có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ
Ngoài ra bạn có thể xem thêm Ôn thi HSG Toán THCS

 

[Vanhau1988]

b. Ta có:
$xyz=5x^3$
$xyz-x=y+z\ge 2\sqrt{yz}=2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^3-x\ge 2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^2\ge 2\sqrt{5}+1$ (do $x>0$)
$\Rightarrow x^2\ge \dfrac{1+2\sqrt{5}}{5}$
$\Rightarrow x\ge \sqrt{ \dfrac{1+2\sqrt{5}}{5}}$ (do $x>0$)
Nếu bạn có thắc mắc, bạn cứ hỏi tại đây, tụi mình sẽ hỗ trợ
Ngoài ra bạn có thể xem thêm Ôn thi HSG Toán THCS

Blue PlusY,z đề đâu có cho dương đâu bạn

 

[Blue Plus]

Y,z đề đâu có cho dương đâu bạn

Vanhau1988À xin lỗi, mình không để ý. Vậy phần trên là xét trường hợp $y,z$ dương. Mình bổ sung như vầy:
Trường hợp $y,z$ cùng âm $\Rightarrow -y,-z$ dương
Ta có: $-y-z\ge 2\sqrt{(-y)(-z)}=2\sqrt{5}x\Rightarrow y+z\le -2\sqrt{5}x$
$xyz-x=y+z\le -2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^3-x\le -2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^2\le 1-2\sqrt{5}$ (vì $x>0$)
mà $1-2\sqrt{5}<0$ nên vô lí
Vậy trường hợp này không xảy ra.

Mình có thể chỉ ra được không thể có trường hợp trong hai số $y,z$ có 1 số âm và 1 số dương. Do đó chứng minh hoàn tất.

Cảm ơn bạn đã góp ý.

 

[Vanhau1988]

À xin lỗi, mình không để ý. Vậy phần trên là xét trường hợp $y,z$ dương. Mình bổ sung như vầy:
Trường hợp $y,z$ cùng âm $\Rightarrow -y,-z$ dương
Ta có: $-y-z\ge 2\sqrt{(-y)(-z)}=2\sqrt{5}x\Rightarrow y+z\le -2\sqrt{5}x$
$xyz-x=y+z\le -2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^3-x\le -2\sqrt{5}x$
$\Rightarrow 5x^2\le 1-2\sqrt{5}$ (vì $x>0$)
mà $1-2\sqrt{5}<0$ nên vô lí
Vậy trường hợp này không xảy ra.

Mình có thể chỉ ra được không thể có trường hợp trong hai số $y,z$ có 1 số âm và 1 số dương. Do đó chứng minh hoàn tất.

Cảm ơn bạn đã góp ý.

Blue PlusCảm on ban nhiu nha