Đặt [TEX]n^2+3^n=t^2(t \in \mathbb{N}^*)[/TEX].
Khi đó ta có: [TEX]t^2-n^2=3^n \Rightarrow (t-n)(t+n)=3^n \Rightarrow t-n=3^x,t+n=3^y(x+y=n) \Rightarrow 2n=3^y-3^x=3^y-3^{n-y}=3^{n-y}(3^{2y-n}-1)[/TEX]
Nhận thấy [TEX]y=n[/TEX] suy ra [TEX]2n=3^n-1 \Rightarrow n=1[/TEX](do [TEX]n>1[/TEX] bằng quy nạp chứng minh được [TEX]2n<3^n-1[/TEX])
Xét [TEX]n>y \Rightarrow n \vdots 3[/TEX]. Đặt [TEX]n=3k(k \in \mathbb{N}^*)[/TEX]
[TEX] \Rightarrow 2k=3^{3k-y-1}(3^{2y-3k}-1)[/TEX]
Với [TEX]y \leq 2k-1[/TEX] thì [TEX]3^{3k-y-1} \geq 3^{k}>k, 3^{2y-3k}-1\geq 2[/TEX] nên không thỏa mãn.
Với [TEX]y>2k-1[/TEX] thì [TEX]3^{2y-3k}-1>3^{k-2}-1 \geq k-1 \forall k \geq 3[/TEX], [TEX]3^{3k-y-1} \geq 3[/TEX] nên [TEX]VP \geq 3k-3 \Rightarrow k \leq 3[/TEX]
+ [TEX]k=3 \Rightarrow n=9 [/TEX](không thỏa mãn)
+ [TEX]k=2 \Rightarrow n=6[/TEX](không thỏa mãn)
+ [TEX]k=1 \Rightarrow n=3[/TEX](thỏa mãn)
+ [TEX]k=0 \Rightarrow n=0[/TEX](thỏa mãn)
Vậy [tex]n \in \left \{ 0,1,3 \right \}[/tex]
Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
