Toán 9 tìm min

[lynox]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [imath]x,y,z>0[/imath] tm [imath]xyz=1[/imath] .T ìm Min[imath]P=\frac{xy}{y+2} + \frac{yz}{z+2} + \frac{zx}{x+2}[/imath]

 

[2712-0-3]

cho [imath]x,y,z>0[/imath] tm [imath]xyz=1[/imath] .T ìm Min[imath]P=\frac{xy}{y+2} + \frac{yz}{z+2} + \frac{zx}{x+2}[/imath]

lynoxTa có: [imath]P=\dfrac{xy}{y+2} + \dfrac{yz}{z+2} + \dfrac{zx}{x+2}[/imath]
[imath]P = \dfrac{1}{z(y+2)} + \dfrac{1}{x(z+2)} + \dfrac{1}{y(x+2)}[/imath]
[imath]P =\dfrac{xy(x+2)(z+2) + yz(x+2)(y+2) + xz(y+2)(z+2)}{(x+2)(y+2)(z+2)}[/imath]
[imath]P = \dfrac{xy(xz+2x+2z+4) + yz(xy+2x+2y+4) + xz(yz+2y+2z+4)}{xyz+2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z+8}[/imath]
[imath]P = \dfrac{x + 2x^2y +2 +4xy + y + 2 + 2y^2z + 4yz + z + 2 + 2z^2x+4xz}{2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z + 9}[/imath]
Ta cần chỉ ra [imath]P \geq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x + 2x^2y +2 +4xy + y + 2 + 2y^2z + 4yz + z + 2 + 2z^2x+4xz \geq 2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z + 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x^2y +2xy + 2y^2z + 2yz + 2z^2x+2xz \geq 3x+3y+3z + 3 (1)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: [imath]x^2y + xz \geq 2 \sqrt{x^2 . xyz} = 2x[/imath]
Tương tự, cộng vế ta được: [imath]2(x^2y+y^2z+z^2x+xz+zy+yx) \geq 4(x+y+z) = 3(x+y+z) +(x+y+z) \geq 3 x+3y+3z + 3\sqrt[3]{xyz} = 3x+3y+3z + 3[/imath]
Suy ra [imath](1)[/imath] được chứng minh, nên [imath]P\geq 1[/imath] đúng.
Dấu = xảy ra khi [imath]x=y=z=1[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[lynox]

Ta có: [imath]P=\dfrac{xy}{y+2} + \dfrac{yz}{z+2} + \dfrac{zx}{x+2}[/imath]
[imath]P = \dfrac{1}{z(y+2)} + \dfrac{1}{x(z+2)} + \dfrac{1}{y(x+2)}[/imath]
[imath]P =\dfrac{xy(x+2)(z+2) + yz(x+2)(y+2) + xz(y+2)(z+2)}{(x+2)(y+2)(z+2)}[/imath]
[imath]P = \dfrac{xy(xz+2x+2z+4) + yz(xy+2x+2y+4) + xz(yz+2y+2z+4)}{xyz+2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z+8}[/imath]
[imath]P = \dfrac{x + 2x^2y +2 +4xy + y + 2 + 2y^2z + 4yz + z + 2 + 2z^2x+4xz}{2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z + 9}[/imath]
Ta cần chỉ ra [imath]P \geq 1[/imath]
[imath]\Leftrightarrow x + 2x^2y +2 +4xy + y + 2 + 2y^2z + 4yz + z + 2 + 2z^2x+4xz \geq 2xy+2yz+2zx+4x+4y+4z + 9[/imath]
[imath]\Leftrightarrow 2x^2y +2xy + 2y^2z + 2yz + 2z^2x+2xz \geq 3x+3y+3z + 3 (1)[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: [imath]x^2y + xz \geq 2 \sqrt{x^2 . xyz} = 2x[/imath]
Tương tự, cộng vế ta được: [imath]2(x^2y+y^2z+z^2x+xz+zy+yx) \geq 4(x+y+z) = 3(x+y+z) +(x+y+z) \geq 3 x+3y+3z + 3\sqrt[3]{xyz} = 3x+3y+3z + 3[/imath]
Suy ra [imath](1)[/imath] được chứng minh, nên [imath]P\geq 1[/imath] đúng.
Dấu = xảy ra khi [imath]x=y=z=1[/imath]

Ngoài ra mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

2712-0-3đặt [imath]x=\frac{a}{b}[/imath] .... nó sẽ ngắn gọn hơn.

 

[2712-0-3]

đặt [imath]x=\frac{a}{b}[/imath] .... nó sẽ ngắn gọn hơn.

lynoxyep nhma thật ra anh ngu bất, nên là (không phải mỗi anh) gặp mấy bài này cứ quy đồng lên ra hết ấy

 

[Only Normal]

Mình có cách làm theo Cô-si ngược dấu bạn tham khảo nhé :
[imath]P= \dfrac{xy}{y+2} +\dfrac{yz}{z+2} +\dfrac{zx}{x+2}[/imath]
[imath]\to P = x(1 - \dfrac{2}{y+2}) + y(1 - \dfrac{2}{z+2}) + z(1 - \dfrac{2}{x+2})[/imath]
[imath]\to P = (x +y+z) - \dfrac{2x}{y+2} - \dfrac{2y}{z+2} - \dfrac{2z}{x+2}[/imath]
Ta có : [imath]x+y+z \ge 3[/imath] ( AM-GM)
[imath]y +2 =y +1 +1 \ge 3\sqrt[3]{y} \to -\dfrac{2x}{y+2} \ge -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{y}}[/imath]
Do đó : [imath]P \ge 3 - \dfrac{2}{3}\Bigg( \dfrac{x}{\sqrt[3]{y}} + \dfrac{y}{\sqrt[3]{z}} + \dfrac{z}{\sqrt[3]{x}} \Bigg)[/imath]
Đặt [imath]\begin{cases} \sqrt[3]{x}= a \\ \sqrt[3]{y} =b \\ \sqrt[3]{z} =c \end{cases} \to abc = 1[/imath]
Ta có : [imath]\dfrac{x}{\sqrt[3]{y}} + \dfrac{y}{\sqrt[3]{z}} + \dfrac{z}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} = \dfrac{a^4}{ab} + \dfrac{b^4}{bc} + \dfrac{c^4}{ac} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} =ab+bc+ca \ge 3[/imath]
[imath]\Rightarrow P = 3 - 2 =1[/imath]
Vậy [imath]P_{min} = 1 \Leftrightarrow x =y =z =1[/imath]

 

[lynox]

Mình có cách làm theo Cô-si ngược dấu bạn tham khảo nhé :
[imath]P= \dfrac{xy}{y+2} +\dfrac{yz}{z+2} +\dfrac{zx}{x+2}[/imath]
[imath]\to P = x(1 - \dfrac{2}{y+2}) + y(1 - \dfrac{2}{z+2}) + z(1 - \dfrac{2}{x+2})[/imath]
[imath]\to P = (x +y+z) - \dfrac{2x}{y+2} - \dfrac{2y}{z+2} - \dfrac{2z}{x+2}[/imath]
Ta có : [imath]x+y+z \ge 3[/imath] ( AM-GM)
[imath]y +2 =y +1 +1 \ge 3\sqrt[3]{y} \to -\dfrac{2x}{y+2} \ge -\dfrac{2x}{3\sqrt[3]{y}}[/imath]
Do đó : [imath]P \ge 3 - \dfrac{2}{3}\Bigg( \dfrac{x}{\sqrt[3]{y}} + \dfrac{y}{\sqrt[3]{z}} + \dfrac{z}{\sqrt[3]{x}} \Bigg)[/imath]
Đặt [imath]\begin{cases} \sqrt[3]{x}= a \\ \sqrt[3]{y} =b \\ \sqrt[3]{z} =c \end{cases} \to abc = 1[/imath]
Ta có : [imath]\dfrac{x}{\sqrt[3]{y}} + \dfrac{y}{\sqrt[3]{z}} + \dfrac{z}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{a^3}{b} + \dfrac{b^3}{c} + \dfrac{c^3}{a} = \dfrac{a^4}{ab} + \dfrac{b^4}{bc} + \dfrac{c^4}{ac} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ab+bc+ca} =ab+bc+ca \ge 3[/imath]
[imath]\Rightarrow P = 3 - 2 =1[/imath]
Vậy [imath]P_{min} = 1 \Leftrightarrow x =y =z =1[/imath]

Only Normalcòn dấu - ở trước?

 

[Only Normal]

còn dấu - ở trước?

lynoxChỗ nào vậy bạn ?

 

[lynox]

Chỗ nào vậy bạn ?

Only Normalbạn xét bđt ở cuối í

 

[Only Normal]

bạn xét bđt ở cuối í

lynoxCái Dòng 3 từ dưới lên mình đâu thấy dấu [imath]-[/imath] nào @@

 

[lynox]

Cái Dòng 3 từ dưới lên mình đâu thấy dấu [imath]-[/imath] nào @@

Only Normalở P thì đằng trước nó có dấu -

 

[cuduckien]

P ngược dấu rồi bạn ơi,đoạn cuối í