tìm min khó

[mydung_96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giả sử x,y là 2 số dương thỏa điều kiện 2/x+3/y =6. tìm min của tổng x+y

 

[vodichhocmai]

giả sử x,y là 2 số dương thỏa điều kiện 2/x+3/y =6. tìm min của tổng x+y

[TEX]\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}\)\(x+y\):=\(\sqrt{2}+ \sqrt{3}\)^2+\(\sqrt{\frac{2y}{x}}-\sqrt{\frac{3x}{y}}\)^2[/TEX]

 

[tranvanhung7997]

Ta có: $6(x + y) = (\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y})(x + y) = 5 + \dfrac{2y}{x} + \dfrac{3x}{y}$

Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương: $\dfrac{2y}{x} + \dfrac{3x}{y} \ge 2\sqrt[]{6}$

Dấu = có <=> $\dfrac{2y}{x} = \dfrac{3x}{y}$ và $\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{y} = 6$

Vậy MIN$ (x + y) = 5 + 2\sqrt[]{6}$ <=> $ x = ......; y = .........$

Bạn chưa chia cho 6

 

[congchuaanhsang]

Giả sử x,y là 2 số dương thỏa điều kiện 2/x+3/y =6. tìm min của tổng x+y

Cauchy-Schwarz:

$6=\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}$ \geq $\dfrac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2}{x+y}$

\Leftrightarrow $x+y$ \geq $\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}$

Vậy $(x+y)_{min}=\dfrac{5+2\sqrt{6}}{6}$

 

[huynhbachkhoa23]

Dùng nhân tử Lagrange:

$L=x+y-\lambda (\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{y}-6)(=x+y)$

$\dfrac{dL}{dx}=1+\dfrac{2\lambda}{x^2}=0$
$\dfrac{dL}{dy}=1+\dfrac{3\lambda}{y^2}=0$

Suy ra $x=\sqrt{-2\lambda}; y=\sqrt{-3\lambda}$

Suy ra $\lambda=\dfrac{-5-2\sqrt{6}}{36}$

Điểm dừng $(x;y;\lambda)=(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{6}}{18}};\sqrt{ \dfrac{5+2\sqrt{6}}{12}};\dfrac{-5-2\sqrt{6}}{36})$

$L''_{xx}; L''_{yy}>0$

Suy ra $\text{min{x+y}}$ đạt được khi $(x;y)=(\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2\sqrt{6}}{18}}; \sqrt{ \dfrac{5+2\sqrt{6}}{12}})$

Việc còn lại là rút gọn và lấy máy bấm.