tim MAX

[black_chieftain]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy[TEX]\leq[/TEX] y-1
Tìm GTLN của biểu thức
[TEX]\frac{x+y}{\sqrt[]{x^2-xy+3y^2}}-\frac{x-2y}{6(x+y)}[/TEX]

 

[braga]

$P=\dfrac{x+y}{\sqrt[]{x^2-xy+3y^2}}-\dfrac{x-2y}{6(x+y)}$
Ta viết lại biểu thức $P$ của bài toán như sau
$$P=\dfrac{\dfrac{x}{y}+1}{\sqrt{\left(\dfrac{x}{y}\right)^2-\dfrac{x}{y}+3}}-\dfrac{\dfrac{x}{y}-2}{6\left(\dfrac{x}{y}+1\right)}$$
Đặt $t=\dfrac{x}{y}$ từ giả thiết suy ra $t\le \dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y^2} =\dfrac{1}{4}-\left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{2}\right)^2 \le \dfrac{1}{4}$.

Khi đó ta có $$P=\dfrac{t+1}{\sqrt{t^2-t+3}}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{6}\le \dfrac{4(t+1)}{3\sqrt{5}}+\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{t+1}-\dfrac{1}{6}=f(t),\ t>0$$
$$f'(t)= \dfrac{4}{3\sqrt{5}}-\dfrac{1}{2(t+1)^2}> \dfrac{4}{3\sqrt{5}}-\dfrac{1}{2}>0$$
Suy ra $f(t)$ là hàm đồng biến.
Nên $f(t) \le f \left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
+\dfrac{7}{30}$.
Đẳng thức xảy ra khi $x=2;y=\dfrac{1}{2}$.