Toán 10 Tìm $m$ để $x^2(4mx^2-1)+2x\sqrt{4x^4+1}+m=0$ có nghiệm

Mộc Nhãn

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,306
10,599
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Đặt [TEX]\sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}=t \geq 2[/TEX]. Xét các trường hợp:
+ Phương trình có nghiệm[TEX]x > 0[/TEX]
Ta thấy: [TEX]x^2(4mx^2-1)+2x\sqrt{4x^4+1}+m=0 \Leftrightarrow m(4x^4+1)+2x\sqrt{4x^4+1}-x^2=0 \Leftrightarrow m.(4x^2+\frac{1}{x^2})+2\sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}-1=0[/TEX]
Phương trình ban đầu trở thành: [TEX]mt^2+2t-1=0 \Rightarrow m=\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{1}{t}=z[/TEX] thì [TEX]0<z \leq \frac{1}{2}[/TEX]
Xét bảng biến thiên của [TEX]f(z)=z^2-2z[/TEX] với [TEX]0<z \leq \frac{1}{2}[/TEX] ta có [TEX]-\frac{3}{4}\leq m=f(z)<0[/TEX] nên không tồn tại [TEX]m[/TEX] thỏa mãn.
+ Phương trình có nghiệm [TEX]x < 0[/TEX]
Ta thấy: [TEX]x^2(4mx^2-1)+2x\sqrt{4x^4+1}+m=0 \Leftrightarrow m(4x^4+1)+2x\sqrt{4x^4+1}-x^2=0 \Leftrightarrow m.(4x^2+\frac{1}{x^2})-2\sqrt{4x^2+\frac{1}{x^2}}-1=0[/TEX]
Phương trình ban đầu trở thành: [TEX]mt^2-2t-1=0 \Rightarrow m=\frac{1}{t^2}+\frac{2}{t}[/TEX]
Đặt [TEX]\frac{1}{t}=z[/TEX] thì [TEX]0<z \leq \frac{1}{2}[/TEX]
Xét bảng biến thiên của [TEX]f(z)=z^2+2z[/TEX] với [TEX]0<z \leq \frac{1}{2}[/TEX] ta có [TEX]0< m=f(z) \leq \frac{5}{4}[/TEX] nên tồn tại giá trị [TEX]m=1[/TEX] thỏa mãn đề bài.
+ Phương trình có nghiệm [TEX]x=0[/TEX]. Nhận thấy trường hợp này suy ra [TEX]m=0[/TEX] thỏa mãn.
Vậy [tex]m \in \left \{ 0,1 \right \}[/tex].

Nếu bạn có thắc mắc gì có thể hỏi tại topic này nhé. Chúng mình luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn.
Bạn cũng có thể tham khảo một số bài toán khác tại đây.
 
  • Like
Reactions: Timeless time
Top Bottom