Toán 9 Tìm GTNN

Nguyễn Chi Xuyên · 2 Tháng bảy 2022

Cho các số dương

x+y+z+t=2

. Tìm GTNN của biểu thức:

A=\dfrac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}

2712-0-3 · 2 Tháng bảy 2022

Nguyễn Chi Xuyên said:
Cho các số dương $x+y+z+t=2$ . Tìm GTNN của biểu thức:
$A=\dfrac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}$

Nguyễn Chi XuyênÁp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

x^4+x^4+x^4 + \dfrac{1}{2^4} \geq 2x^3 \Rightarrow x^4 \geq \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{48}

Tương tự, suy ra được:

x^4+y^4+z^4+t^4 \geq \dfrac{2}{3} (x^3+y^3+z^3+t^3) - \dfrac{1}{12}

\Rightarrow A \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{12(x^3+y^3+z^3+t^3)}

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:

x^3 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} \geq \dfrac{3}{4} x

Tương tự, cộng vào ta có:

x^3+y^3+z^3+t^3 \geq \dfrac{1}{2}

Suy ra

A \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{2}

Bài này còn cách khác, áp dụng bất đẳng thức Chevbusep , giả sử $x\geq y\geq z\geq t$
Khi đó,

x^4 \geq y^4\geq z^4\geq t^4 ; x^3\geq y^3 \geq z^3 \geq t^3

Áp dụng ta có:

\dfrac{1}{4} (x^4+y^4+z^4+t^4) \dfrac{1}{4^2} ( x^3+y^3+z^3+t^3)(x+y+z+t) \Rightarrow A \geq \dfrac{1}{2}

Ngoài ra mời em tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức