Cho các số dương [imath] x+y+z+t=2[/imath]. Tìm GTNN của biểu thức:
[imath]A=\dfrac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}[/imath]
Nguyễn Chi XuyênÁp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]x^4+x^4+x^4 + \dfrac{1}{2^4} \geq 2x^3 \Rightarrow x^4 \geq \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{1}{48}[/imath]
Tương tự, suy ra được: [imath]x^4+y^4+z^4+t^4 \geq \dfrac{2}{3} (x^3+y^3+z^3+t^3) - \dfrac{1}{12}[/imath]
[imath]\Rightarrow A \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{12(x^3+y^3+z^3+t^3)}[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
[imath]x^3 + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} \geq \dfrac{3}{4} x[/imath]
Tương tự, cộng vào ta có: [imath]x^3+y^3+z^3+t^3 \geq \dfrac{1}{2}[/imath]
Suy ra [imath]A \geq \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{2}[/imath]
Bài này còn cách khác, áp dụng bất đẳng thức Chevbusep , giả sử [imath]x\geq y\geq z\geq t[/imath]
Khi đó, [imath]x^4 \geq y^4\geq z^4\geq t^4 ; x^3\geq y^3 \geq z^3 \geq t^3[/imath]
Áp dụng ta có: [imath]\dfrac{1}{4} (x^4+y^4+z^4+t^4) \dfrac{1}{4^2} ( x^3+y^3+z^3+t^3)(x+y+z+t) \Rightarrow A \geq \dfrac{1}{2}[/imath]
Ngoài ra mời em tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
