Toán 8 Tìm GTNN

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm GTNN của biểu thức.

 

[2712-0-3]

Tìm GTNN của biểu thức.

Nguyễn Chi XuyênĐặt [imath]t=a+b >0[/imath]
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2t \geq t^2 \Rightarrow t \leq 2[/imath]
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]a^4+b^4 \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} = \dfrac{t^2}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{2020}{t^2}[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{8}{t^2} \geq 4[/imath]
Mà [imath]t \leq 2 \Rightarrow t^2 \leq 4 \Rightarrow \dfrac{2012}{t^2} \geq 503[/imath]
Từ đó suy ra [imath]P \geq 507[/imath]

Dấu = xảy ra khi [imath]a=b=1[/imath]
Chúc may mắn, ngoài ra mời e ghé qua topic: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[SinxM2908]

Đặt [imath]t=a+b >0[/imath]
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2t \geq t^2 \Rightarrow t \leq 2[/imath]
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]a^4+b^4 \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} = \dfrac{t^2}{2}[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq \dfrac{t^2}{2} + \dfrac{2020}{t^2}[/imath]
Áp dụng bất đẳng thức [imath]A-G[/imath] ta có: [imath]\dfrac{t^2}{2} + \dfrac{8}{t^2} \geq 4[/imath]
Mà [imath]t \leq 2 \Rightarrow t^2 \leq 4 \Rightarrow \dfrac{2012}{t^2} \geq 503[/imath]
Từ đó suy ra [imath]P \geq 507[/imath]

Dấu = xảy ra khi [imath]a=b=1[/imath]
Chúc may mắn, ngoài ra mời e ghé qua topic: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

HT2k02(Re-kido)Mod lớp mấy vậy ạ

 

[Nguyễn Chi Xuyên]

Mod lớp mấy vậy ạ

SinxM2908Mod lớp 10 bạn nha

 

[SinxM2908]

Áp dụng BĐT AM-GM:
[imath](a+b)^2 \leq 2(a^2+b^2)[/imath]
[imath]=>[/imath][imath](a^2+b^2)^2 \leq 2(a^2+b^2)[/imath]
[imath]=>[/imath][imath]a^2+b^2 \leq 2[/imath] [imath][/imath][imath](a,b>0)[/imath]
[imath]2(a^4+b^4) \geq (a^2+b^2)^2[/imath]
[imath]=> a^4+b^4 \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}[/imath]
[imath]=> a^4+b^4 +\dfrac{2020}{(a+b)^2} \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} + \dfrac{2020}{(a^2+b^2)^2}[/imath]
[imath]=> P \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}+\dfrac{8}{(a^2+b^2)^2}+ \dfrac{2012}{(a^2+b^2)^2}[/imath]
Áp dụng BĐT AM-GM, [imath]a^2+b^2 \leq 2 => (a^2+b^2)^2 \leq 4 => \dfrac{2012}{(a^2+b^2)^2} \geq \dfrac{2012}{4}[/imath]
[imath]=> P \geq 2\sqrt{\dfrac{(a^2+b^2)^2}{2}.\dfrac{8}{(a^2+b^2)^2}} + \dfrac{2012}{4}[/imath]
[imath]=> P \geq 2.\sqrt{4}+503[/imath]
[imath]=> P \geq 4+503=507[/imath]
Dấu [imath]'='[/imath] xảy ra khi: [imath]a=b=1[/imath]
Vậy [imath]Min_P=507[/imath] khi [imath]a=b=1[/imath]