Toán 10 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

nguyenthianh4c

Học sinh
Thành viên
22 Tháng mười một 2021
83
97
21
  • Like
Reactions: 7 1 2 5

7 1 2 5

TMod Toán
Cu li diễn đàn
19 Tháng một 2019
6,505
10,892
1,116
16
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
[imath]P=a+\dfrac{9}{4(a-2b)(b+\dfrac{1}{2})(b+\dfrac{1}{2})}[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: [imath](a-2b)(b+\dfrac{1}{2})(b+\dfrac{1}{2}) \leq (\dfrac{a-2b+b+\dfrac{1}{2}+b+\dfrac{1}{2}}{3})^3=\dfrac{(a+1)^3}{27}[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq a+\dfrac{243}{4(a+1)^3}=\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{243}{4(a+1)^3}-1[/imath]
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: [imath]\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}+\dfrac{243}{4(a+1)^3} \geq 4\sqrt[4]{\dfrac{a+1}{3}\cdot \dfrac{a+1}{3}\cdot \dfrac{a+1}{3}\cdot \dfrac{243}{4(a+1)^3}}=4\sqrt{\dfrac{3}{2}}=2\sqrt{6}[/imath]
[imath]\Rightarrow P \geq 2\sqrt{6}-1[/imath]
Dấu "=" xảy ra khi [imath]a-2b=b+\dfrac{1}{2},\dfrac{a+1}{3}=\dfrac{243}{4(a+1)^3}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow b=\dfrac{1}{3}(a-\dfrac{1}{2}), a+1=\sqrt[4]{\dfrac{3^6}{2^2}}=3\sqrt{\dfrac{3}{2}}[/imath]
[imath]\Leftrightarrow a=3\sqrt{\dfrac{3}{2}}-1,b=...[/imath]

Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé. Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại topic này nha
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
 
Top Bottom