Toán 8 Tìm GTLN

[Nguyễn Chi Xuyên]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

giúp mình với cảm ơn ạ

 

[2712-0-3]

View attachment 208433
giúp mình với cảm ơn ạ

Nguyễn Chi XuyênTa có: [imath]a^2 + b^2 \geq 2ab ; b^2 +1 \geq 2b \Rightarrow \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \dfrac{1}{2(ab+b+1)}[/imath]
Tương tự suy ra [imath]M \leq \dfrac{1}{2 (ab+b+1)} +\dfrac{1}{2 (bc+c+1)} +\dfrac{1}{2 (ca+a+1)}[/imath]
Có một đẳng thức quen thuộc khi [imath]abc=1[/imath] là
[imath]\dfrac{1}{ab+b+1} +\dfrac{1}{bc+c+1} +\dfrac{1}{ca+a+1} = \dfrac{1}{ab+b+1} + \dfrac{ab}{ab^2c+abc+ab} + \dfrac{b}{abc+ab+b}[/imath]
[imath]= \dfrac{1}{ab+b+1} + \dfrac{ab}{ab+b+1} + \dfrac{b}{ab+b+1}=1[/imath]
Vậy giá trị lớn nhất của M là [imath]\dfrac{1}{2}[/imath] tại [imath]a=b=c=1[/imath]

Mời bạn tham khảo thêm tại: [Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức

 

[SinxM2908]

Áp dụng BĐT Cauchy:
[imath]a+b \geq 2\sqrt{ab}[/imath]
[imath]=> a^2+b^2+2ab \geq 4ab[/imath]
[imath]=> a^2+b^2 \geq 2ab[/imath]
[imath]b^2+1 \geq 2b[/imath]
[imath]=> a^2+2b^2+3 \geq 2ab+2b+2[/imath]
[imath]=> \dfrac{1}{a^2+2b^2+3} \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{ab+b+1})[/imath]
CMTT: [imath]\dfrac{1}{b^2+2c^2+3} \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{bc+c+1})[/imath]
[imath]\dfrac{1}{c^2+2a^2+3} \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{ac+a+1})[/imath]
Cộng theo vế:
[imath]=>M \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{1}{ab+b+1}+\dfrac{1}{bc+c+1}+\dfrac{1}{ac+a+1})[/imath]
[imath]=>M \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{ac}{a+1+ac}+\dfrac{a}{1+ac+a}+\dfrac{1}{ac+a+1})[/imath]
[imath]=> M \leq \dfrac{1}{2}.(\dfrac{ac+a+1}{ac+a+1})[/imath]
[imath]=> M \leq \dfrac{1}{2}[/imath]
Dấu [imath]"="[/imath] xảy ra khi: [imath]a=b=c=1[/imath]
Vậy [imath]M_{Max}=\dfrac{1}{2}[/imath] khi [imath]a=b=c=1[/imath]