Toán Tìm giới hạn

[Lê Linh Phong]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho dãy số [tex](u_{n})[/tex] được xác định bởi: [tex](u_{1})=\frac{1}{2};u_{n+1}=u_{n}^{2}+u_{n},\forall n\geq 1[/tex]
Đặt [tex]S_{n}=\frac{1}{u_{1}+1}+\frac{1}{u_{2}+1}+...+\frac{1}{u_{n}+1}[/tex]
Tính lim [tex]S_{n}[/tex]

 

[riverflowsinyou1]

Ta có $u_{n+1}=u_n(u_n+1) \Rightarrow \frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n}-\frac{1}{u_n+1} \Rightarrow {1}{u_{n}}-\frac{1}{u_{n+1}}=\frac{1}{u_n+1}$
Do đó $S_n=\frac{1}{u_1}-\frac{1}{u_{n+1}} (1)$
Ta có $u_{n+1}-u_n=u_n^2>0$ . Giả sử dãy đã cho có giới hạn hữu hạn là $L$ suy ra $L=L+L^2$ suy ra $L=0$ vô lí do $u_n>0$ và tăng .
Vậy khi n càng lớn thì suy ra $u_n \rightarrow +\infty$
Vậy từ $(1)$ ta có $lim S_n=\frac{1}{u_1}=2$