Toán 10 Tích vecto với một số

[Windeee]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC. Gọi AM,BN,CP là các đường trung tuyến. AD,BE,CF là các đường phân giác trong. Gọi X,Y,Z lần lượt trên các cạnh BC,CA,AB sao cho góc: [tex] \widehat{MAD}=\widehat{XAD}; \widehat{NBE}=\widehat{YBE};\widehat{PCF}=\widehat{ZCF}[/tex] Chứng minh rằng : AX,BY,CZ đồng quy tại điểm L thỏa mãn : [tex]a^2\vec{LA}+b^2\vec{LB}+c^2\vec{LC}=\vec{0}[/tex]

Em cảm ơn nhiều ạ.

 

[iceghost]

Các đường $AX, BY, CZ$ là những đường đối trung (đối xứng trung tuyến). Có một tính chất khá nổi bật đó là: $$\dfrac{XB}{XC} = \dfrac{c^2}{b^2}$$
Tính chất này bạn có thể chứng minh bằng định lý sin như sau: $$\begin{aligned}
\dfrac{XB}{XC} &= \dfrac{XB}{XA} \cdot \dfrac{XA}{XC} \\
&= \dfrac{\sin \widehat{XAB}}{\sin B} \cdot \dfrac{\sin C}{\sin \widehat{XAC}} \\
&= \dfrac{\sin \widehat{MAC}}{\sin \widehat{AMC}} \cdot \dfrac{\sin \widehat{AMB}}{\sin \widehat{XAC}} \cdot \dfrac{c}b \\
&= \dfrac{MC}{c} \cdot \dfrac{b}{MB} \cdot \dfrac{c}b \\
&= \dfrac{c^2}{b^2} \end{aligned}$$

Như vậy ta có $b^2 \vec{XB} + c^2 \vec{XC} = \vec{0}$ hay $b^2B + c^2 C = (b^2 + c^2)X$.

Gọi điểm $L$ thỏa mãn đề thì ta có $(a^2 + b^2 + c^2)L - a^2 A = b^2 B + c^2 C = (b^2 + c^2)X$. Do đó $X, A, L$ thẳng hàng hay $L$ thuộc $AX$.

Tương tự với $BY, CZ$, bạn sẽ suy ra được ba đường thẳng đồng quy tại $L$.

Nếu có câu hỏi, thắc mắc gì, bạn có thể hỏi lại bên dưới nha.
Mình gửi tặng bạn một bài viết liên quan đến vector mà mình viết gần đây: https://diendan.hocmai.vn/threads/doc-dao-phuong-phap-mat-goc-vecto.840340/
Chúc bạn học tốt!