Toán [Độc đáo] Phương pháp "mất gốc" vectơ

iceghost

Cựu Mod Toán
Thành viên
TV BQT xuất sắc nhất 2016
20 Tháng chín 2013
5,014
7,457
891
TP Hồ Chí Minh
Đại học Bách Khoa TPHCM
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các bạn,

Mỗi lần đụng tới giao điểm trong bài toán tỉ lệ là mình lại thở dài. Chỉ là giao điểm thôi, mà tại sao lại khó tính tỉ lệ thế nhỉ :Rabbit100

Mình xin demo một bài mẫu:

upload_2021-11-20_10-43-4.png Cho tam giác [imath]\triangle{ABC}[/imath]. Lấy các điểm [imath]D, E, F[/imath] trên cạnh [imath]BC, AC, AB[/imath] sao cho [imath]BD = \dfrac13 BC[/imath], [imath]AE = \dfrac{3}4 AC[/imath], [imath]AF = \dfrac{1}2 AB[/imath]. Gọi [imath]I[/imath] là giao điểm của [imath]AD[/imath] và [imath]EF[/imath].

Tính [imath]\dfrac{IA}{ID}[/imath] và [imath]\dfrac{IE}{IF}[/imath].

Về cơ bản thì bài này khá dễ. Nếu là mình hồi trước, mình sẽ chọn một trong ba cách:
  1. Gọi thêm giao điểm [imath]EF[/imath] và [imath]BC[/imath], sau đó dùng định lý Menelaus.
  2. Dùng tỉ lệ diện tích để tính tỉ số.
  3. Đặt [imath]\overrightarrow{AI} = x \overrightarrow{AD}[/imath] rồi dùng [imath]E, I, F[/imath] thẳng hàng để tìm [imath]x[/imath].
  4. Dùng hệ thức mình chia sẻ tại: https://diendan.hocmai.vn/threads/c...u-ich-trong-cac-bai-toan-khoi-da-dien.839926/
Tuy vậy, không có cách nào vừa ý mình vì tính toán cũng còn mệt mỏi lắm :D Chỉ có mỗi 1 cái giao điểm thôi mà tính toán chi phức tạp thế nhỉ?

Hôm trước, trong một đêm không ngủ được, mình đã tìm được một cách "tối thượng" để giải quyết bài này: :Rabbit66

[math]D = \dfrac{2}3 B + \dfrac{1}3 C = \dfrac{2}3 (2F - A) + \dfrac{1}3 \left( \dfrac{4}3 E - \dfrac{1}3 A \right)[/math]Suy ra [imath]9D = 6(2F - A) + (4E - A)[/imath] hay [imath]9D + 7A = 12F + 4E[/imath]
Chọn [imath]I[/imath] làm gốc, suy ra [imath]9\overrightarrow{ID} = -7\overrightarrow{IA}[/imath] và [imath]12\overrightarrow{IF} = -4\overrightarrow{IE}[/imath] :D Ta thu được tỉ lệ cần tìm.

Có thể đọc tới đây bạn cũng hiểu sơ ý tưởng rồi đó. Dưới đây mình trình bày cụ thể một số điều cần biết để giải quyết bài toán nhé:


I. Những hệ thức "mất gốc"

Chắc hẳn bạn đã quen với công thức: [imath]I = \dfrac{A + B}2[/imath], nhưng ý nghĩa của [imath]I, A, B[/imath] là gì?

Khi làm việc với vector, mình nghĩ rằng: đây là một cách viết vector cho gọn, thực chất nó là: [imath]\overrightarrow{OI} = \dfrac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}2[/imath], trong đó [imath]O[/imath] là gốc tọa độ.

Thật ra, không nhất thiết điểm [imath]O[/imath] ở trên phải là gốc tọa độ. Điểm [imath]O[/imath] bất kỳ nào cũng thỏa. Bạn có thể chèn thử một điểm [imath]O'[/imath] nào đó vào: [math]\overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'I} = \dfrac{\overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'A} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'B}}2[/math] rồi rút gọn, bạn sẽ thấy [imath]\overrightarrow{OO'}[/imath] hai vế bị triệt tiêu và ta có điểm [imath]O'[/imath] mới.

Mình sẽ gọi nó là hệ thức "mất gốc" :D Có một tính chất sau:

Một hệ thức mất gốc hợp lệ khi và chỉ khi: tổng hệ số vế trái bằng tổng hệ số vế phải.


Tính chất này liên quan đến tâm tỉ cự. Nó là nguyên nhân khiến cho [imath]\overrightarrow{OO'}[/imath] ở trên bị triệt tiêu.


*) Một số hệ thức cần nhớ

Trước hết là một phép biến đổi cơ bản để chuyển từ vector sang dạng điểm:

[math]\overrightarrow{AB} \to B - A[/math]Lấy ý tưởng từ công thức [imath]\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}[/imath] với mọi [imath]O[/imath].

Ngoài ra còn một công thức quan trọng như sau:

(Công thức chia điểm) Nhìn hình vẽ ở trên. Giả sử điểm [imath]D[/imath] chia tỉ lệ [imath]DB : DC : BC = b : c : 1[/imath], khi đó ta có: [math]D = cB + bC[/math]​
Ta có thể kiểm chứng [imath]b + c = \dfrac{DB}{BC} + \dfrac{DC}{BC} = 1[/imath] nên tính chất trên thỏa mãn.

Ví dụ: ở trên, ta có [imath]D = \dfrac{2}3 B + \dfrac{1}3 C[/imath].

---

Ok, ở trên mình đã nói là ta hiểu [imath]O[/imath] tùy ý, nhưng khi làm bài, bạn phải chọn [imath]O[/imath] là một điểm xác định :D Vậy ý mình là như thế nào?

Thực tế, khi làm toán, mình thường hay có thói quen tổng quát hóa mọi thứ lên, nên thấy [imath]O[/imath] tùy ý nhìn cũng bắt mắt lắm. Tuy vậy, mình từng nghĩ theo hướng này và bế tắc trong một thời gian dài.

Mới tối hôm trước thôi, mình nghĩ: chuyện gì xảy ra nếu mình chọn gốc là một điểm khác ngoài [imath]O[/imath]? :D


II. Phương pháp "lấy lại gốc"

Chẳng hạn, ở trên, ta biến đổi ra được [imath]9D + 7A = 12F + 4E[/imath]. Hệ thức này thỏa mãn tổng hệ số hai bên đều bằng [imath]16[/imath] nên nó sẽ "mất gốc".

Khi ta chọn gốc là một điểm xác định, chọn điểm [imath]I[/imath] làm gốc chẳng hạn, chuyện xảy ra chính là: [math]9\overrightarrow{ID} + 7\overrightarrow{IA} = 12\overrightarrow{IF} + 4\overrightarrow{IE}[/math]Và khi đó, do [imath]I, D, A[/imath] thẳng hàng và [imath]I, F, E[/imath] thẳng hàng, ta thu được hai vế bằng [imath]\overrightarrow{0}[/imath] và ra được tỉ lệ!

Trong lúc làm, bạn có thể bỏ qua điểm [imath]I[/imath] và vẫn ghi là [imath]9D + 7A = 0[/imath] và [imath]12F + 4E = 0[/imath] cho dễ. Ngoài biết được tỉ lệ, bạn còn biết được hướng hay vị trí của điểm [imath]I[/imath] nữa: do ở giữa là dấu cộng nên rõ ràng các vector ngược hướng, nói cách khác là [imath]I[/imath] nằm giữa cạnh [imath]AD[/imath] và cạnh [imath]EF[/imath].

Tới đây, bạn đã có đủ công cụ để giải quyết một số bài toán cơ bản rồi. Nhưng mình giới thiệu thêm một cái tiếp theo:


III. Phương pháp "tiếp tục mất gốc"

Chẳng hạn, trong bài không chỉ có 1 giao điểm mà có tới 2 giao điểm lận: Ngoài giao điểm [imath]I[/imath] trên, gọi [imath]J[/imath] là giao của [imath]BI[/imath] với [imath]AC[/imath]. Ta cần tính [imath]JI : JB[/imath] và [imath]JA : JC[/imath].

Khi đó, ta cần có một hệ thức nào đó liên quan đến điểm [imath]I[/imath].

Để ý rằng ở trên, sau khi chọn gốc ở trên, ta sẽ có [imath]9D + 7A = 0[/imath]. Đây không phải là hệ thức "mất gốc" hợp lệ, do hệ số hai vế khác nhau.

Ý tưởng là: ta làm cho hệ thức này trở nên hợp lệ bằng cách thêm một lượng tùy ý điểm [imath]I[/imath] vào (do [imath]I[/imath] đang là gốc nên [imath]I[/imath] nó giống như [imath]\overrightarrow{II} = \overrightarrow{0}[/imath]).

Để đây là hệ thức hợp lệ thì [imath]9D + 7A = 16I[/imath]. Khi đó, hệ thức này không còn phụ thuộc vào điểm [imath]I[/imath] là gốc nữa và ta có thể tiếp tục dùng vào trong các hệ thức khác!


IV. Tóm lại

Tóm lại như sau:

Giả sử ta có [imath]I[/imath] là giao điểm của [imath]AB[/imath] và [imath]CD[/imath]. Ta cần tìm tỉ lệ [imath]IA : IB[/imath] và [imath]IC : ID[/imath].

Bước 1. Tìm hệ thức giữa [imath]A, B, C, D[/imath], ví dụ: [math]aA + bB = cC + dD[/math]
Bước 2. Chọn giao điểm [imath]I[/imath] làm gốc.

Bước 3. Thu được [imath]aA + bB = cC + dD = 0[/imath] và thu được các tỉ lệ cạnh.

Bước 4 (tùy chọn). Mất gốc [imath]I[/imath]: [imath]aA + bB = cC + dD = iI[/imath], trong đó [imath]i = a + b = c + d[/imath].

V. Ứng dụng

1. Cho tam giác [imath]ABC[/imath], trọng tâm [imath]G[/imath]. Gọi [imath]M[/imath] là giao của [imath]AG[/imath] và [imath]BC[/imath], tính [imath]\dfrac{MA}{MG}[/imath] và [imath]\dfrac{MB}{MC}[/imath].

Giải. Ta cần tìm hệ thức giữa [imath]A, G, B, C[/imath]. Ta nhớ đến: [math]3G = A + B + C[/math]Khi đó [imath]3G - A = B + C[/imath] nên khi chọn [imath]M[/imath] làm gốc, [imath]3G - A = B + C = 0[/imath] nên [imath]3MG = MA[/imath] và [imath]MB = MC[/imath].


2. Cho tam giác [imath]ABC[/imath]. Gọi [imath]M[/imath], [imath]N[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}3 \overrightarrow{AB}[/imath], [imath]\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}4 \overrightarrow{AC}[/imath]. Gọi [imath]O[/imath] là giao điểm của [imath]CM[/imath] và [imath]BN[/imath]. Trên [imath]BC[/imath] lấy [imath]E[/imath] sao cho [imath]\overrightarrow{BE}=x \overrightarrow{BC}[/imath]. Tìm [imath]x[/imath] để [imath]A,O,E[/imath] thẳng hàng.

Giải. Gọi [imath]E[/imath] là giao của [imath]AO[/imath] và [imath]BC[/imath] thì ta cần tính tỉ lệ [imath]EB : EC[/imath].

Từ gt [imath]3\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB}[/imath] ta có [imath]3M - 3A = B - A[/imath] hay [imath]3M = B + 2A[/imath]

Tương tự: [imath]4\overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AC}[/imath] nên [imath]4N - 4A = 3C - 3A[/imath] hay [imath]4N = 3C + A[/imath]

Khử đi [imath]A[/imath] ta thu được: [imath]3M - 8N = B - 6C[/imath] hay [imath]3M + 6C = B + 8N[/imath].

Chọn [imath]O[/imath] làm gốc rồi bỏ đi gốc [imath]O[/imath], ta thu được [imath]3M + 6C = 9O[/imath] và [imath]B + 8N = 9O[/imath]

Khử đi [imath]N[/imath]: [imath]B + 6C + 2A = 9O[/imath], suy ra [imath]B + 6C = 9O - 2A[/imath]

Chọn [imath]E[/imath] làm gốc rồi bỏ đi gốc [imath]E[/imath], ta thu được [imath]B + 6C = 7E[/imath]

Chọn [imath]B[/imath] làm gốc, ta thu được [imath]6C = 7E[/imath] hay [imath]6\overrightarrow{BC} = 7\overrightarrow{BE}[/imath]

Như vậy [imath]x = \dfrac{6}7[/imath]! :D

3. Cho hình chóp [imath]S.ABCD[/imath] đáy hình bình hành. Gọi [imath]M[/imath], [imath]N[/imath], [imath]P[/imath] trên các cạnh [imath]SA, SB, SC[/imath] sao cho [imath]SM = \dfrac{1}2 SA[/imath], [imath]SN = \dfrac{2}3 SB[/imath], [imath]SP = \dfrac{3}4 SC[/imath]. Gọi [imath]Q[/imath] là giao điểm của [imath](MNP)[/imath] và [imath]SD[/imath]. Tính tỉ lệ [imath]\dfrac{SQ}{SD}[/imath].

Giải. Bài toán này bạn đọc tự chứng minh nhé :D
(Gợi ý: thông qua các giao điểm trong cách dựng [imath]Q[/imath])

Lời kết. Hy vọng qua khám phá này, cách làm này sẽ được chia sẽ và được công nhận rộng rãi :D Mình không rõ đã có ai phát hiện ra cách này chưa, nhưng qua việc giải hàng trăm bài vector và viết đến đây rồi thì mình nghĩ: Sao cách đơn giản như thế mà không ai bày cho mình nhỉ? :D

Hôm nay là một ngày đặc biệt: ngày Nhà giáo Việt Nam 20 tháng 11. Em xin chúc thầy cô đọc được bài này luôn mạnh khỏe và thành công trên con đường, sự nghiệp trồng người của mình, đặc biệt trong tình hình dịch bệnh khó khăn như thế này. Chúc các bạn học sinh luôn khỏe mạnh, học tốt để mang lại niềm vui cho thầy cô của mình :D

Cảm ơn mọi người đã đọc bài viết này!
 
Last edited:
Top Bottom