Toán 12 $ \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \geq \sqrt{3}+\sqrt{2}+1 $

[utopiaguy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho ba số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. CMR:
$ \sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1} \geq \sqrt{3}+\sqrt{2}+1 $

 

[iceghost]

1 số bằng $3$, 2 số còn lại bằng $0$ thì ra $VT = 4$ nhỏ hơn nhỉ?
Ý tưởng: Ta chứng minh $\sqrt{a + 1} \geqslant ma + n$
Trên $[0, 3]$ thì dễ thấy $\sqrt{a + 1}$ nằm phía trên đường thẳng đi qua 2 vị trí biên của đồ thị, là $(0, 1)$ và $(3, 2)$
Khi đó ta chứng minh $\sqrt{a + 1} \geqslant \dfrac{1}3 a + 1$
$\iff a(a - 3) \leqslant 0$ (đúng)

Tương tự cho $b$ và $c$ thì $VT \geqslant \dfrac{1}3 (a + b + c) + 3 = 4$
Dấu '=' khi 1 số bằng $3$ và 2 số còn lại bằng $0$