Số học khó

[chankemy]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho số nguyên tố p. Giả sử x, y là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn
[TEX]\frac{x^2 + py^2}{xy}[/TEX] là số tự nhiên. Chứng minh [TEX]\frac{x^2 + py^2}{xy} = 1+p [/TEX]

 

[riverflowsinyou1]

Đặt $\frac{x^2+py^2}{xy}=m$ với $m \in \mathbb{N^*}$
Suy ra $x^2+py^2-mxy=0$ coi $y$ là tham số phương trình này có nghiệm nguyên $\Leftrightarrow \Delta=(my)^2-4py^2$ là số chính phương
Hay $m^2-4p$ là số chính phương
Đến đây ta đặt $m^2-4p=k^2$ với $k \in \mathbb{N} \Leftrightarrow (m-k)(m+k)=4p$
Đến đây ta xét các trường hợp : (dễ nhận thấy $m,k$ cùng tính chẵn lẻ)
TH1 : $p=2$ thì từ đó suy ra $m=3=p+1$
TH2 : $p$ lẻ thì $(m-k,m+k)=(2,2p)$ suy ra $m=p+1$
Từ tất cả trường hợp $\rightarrow$ đpcm