Toán 8 Số chính phương

[Cheems]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a và b là các số nguyên dương với b lẻ , thỏa mãn (a+b)^2 + 4a / ab là một số nguyên . CMR a là số chính phương.
Cho a,b,c thuộc đoạn [0;2] Tìm GTLN của (a-b)^4 + (b-c)^4 + (c-a)^4
Mong mn giúp ạ

 

[7 1 2 5]

Cho a,b,c thuộc đoạn [0;2] Tìm GTLN của (a-b)^4 + (b-c)^4 + (c-a)^4

Không mất tính tổng quát, giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]
Áp dụng BĐT $$x^4+y^4\leq (x+y)^4 \forall x,y \geq 0$$ ta có:
$$(a-b)^4 + (b-c)^4 + (c-a)^4 \leq (a-b+b-c)^4+(c-a)^4=2(c-a)^4 \leq 2.2^4=2^5=32$$
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn tại $$(a,b,c)=(2,0,0)$$

Cho a và b là các số nguyên dương với b lẻ , thỏa mãn (a+b)^2 + 4a / ab là một số nguyên . CMR a là số chính phương.

Đặt [TEX]d=(a,b);a=dx,b=dy[/TEX]
Khi đó ta có: $$a^2+b^2+4a \vdots ab \Rightarrow b^2 \vdots a \Rightarrow d^2y^2 \vdots dx \Rightarrow d \vdots x$$
$$a^2+b^2+4a \vdots ab \Rightarrow d^2x^2+d^2y^2+4dx \vdots d^2xy \Rightarrow 4dx \vdots d^2 \Rightarrow 4x \vdots d$$
Mà b lẻ nên [TEX](4,d)=1 \Rightarrow x \vdots d \Rightarrow x=d \Rightarrow a=d^2[/TEX](đpcm)

 

[Cheems]

Không mất tính tổng quát, giả sử [TEX]a \geq b \geq c[/TEX]
Áp dụng BĐT $$x^4+y^4\leq (x+y)^4 \forall x,y \geq 0$$ ta có:
$$(a-b)^4 + (b-c)^4 + (c-a)^4 \leq (a-b+b-c)^4+(c-a)^4=2(c-a)^4 \leq 2.2^4=2^5=32$$
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn tại $$(a,b,c)=(2,0,0)$$


Đặt [TEX]d=(a,b);a=dx,b=dy[/TEX]
Khi đó ta có: $$a^2+b^2+4a \vdots ab \Rightarrow b^2 \vdots a \Rightarrow d^2y^2 \vdots dx \Rightarrow d \vdots x$$
$$a^2+b^2+4a \vdots ab \Rightarrow d^2x^2+d^2y^2+4dx \vdots d^2xy \Rightarrow 4dx \vdots d^2 \Rightarrow 4x \vdots d$$
Mà b lẻ nên [TEX](4,d)=1 \Rightarrow x \vdots d \Rightarrow x=d \Rightarrow a=d^2[/TEX](đpcm)

Cho em hỏi là tại sao c-a < 2^4 ạ ?

 

[7 1 2 5]

Cho em hỏi là tại sao c-a < 2^4 ạ ?

[TEX]a,c \in [0,2] \Rightarrow |a-c| \leq 2[/TEX]

 

[Cheems]

[TEX]a,c \in [0,2] \Rightarrow |a-c| \leq 2[/TEX]

Em cảm ơn ạ ! ( Mới ngủ dậy nên hơi ngáo )

 

[Cheems]

Mak cho em xin cách CM BĐT x^4 + y^4 =< (x+y)^4 ạ ,

 

[7 1 2 5]

Mak cho em xin cách CM BĐT x^4 + y^4 =< (x+y)^4 ạ ,

Em nhân bung VP ra rồi dùng [TEX]x,y \geq 0[/TEX] là được.