Toán 10 [SGK Mới] Chương VIII Đại số tổ hợp

[chi254]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân​

I) Quy tắc cộng
1) Định nghĩa
Giải sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có [imath]n[/imath] cách thực hiện phương án A và [imath]m[/imath] cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc được thực hiện theo [imath]m+n[/imath] cách
2) Công thức quy tắc cộng
Nếu các tập [imath]A_{1},A_{2},...,A_{n}[/imath] đôi một rời nhau. Khi đó:
[imath]\left | A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n} \right |=\left | A_{1} \right |+\left | A_{2} \right |+...+\left | A_{n} \right |[/imath] ( trong đó: [imath]\left | X \right |[/imath] là chỉ số phần tử của tập [imath]X[/imath])

VD1: Hà có 5 cuốn sách khoa họ, 4 cuốn tiểu thuyết và 3 cuốn truyện tranh (các cuốn sách khác nhau từng đôi một). Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đố để đọc. Nam có bao nhiêu cách chọn 1 cuốn sách để mượn?

Lời giải:
Phương án 1: Mượn một cuốn sách khoa học, có 5 cách
Phương án 2: Mượn 1 cuốn tiểu thuyết, có 4 cách
Phương án 3: Mượn 1 cuốn truyện tranh, có 3 cách

Vậy theo quy tắc cộng, Nam có [imath]5+4+3 = 12[/imath] cách chọn 1 cuốn sách để mượn

VD2: Một hộp có chứa 15 bóng đèn màu trắng và 10 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là?

Lời giải:
Phương án 1: Chọn 1 bóng đèn màu trắng có: [imath]15[/imath] cách
Phương án 2: Chọn 1 bóng đèn màu xanh có [imath]10[/imath] cách

Vậy theo quy tắc cộng có [imath]15 + 10 = 25[/imath] cách chọn 1 bóng đèn trong hộp

VD3: Lớp 11 A1 có 18 học sinh nữ và 20 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh trong lớp làm lớp trưởng?

Lời giải:
Phương án 1: Chọn 1 bạn nữ làm lớp trưởng có: 18 cách
Phương án 2: Chọn 1 bạn nam làm lớp trưởng có 20 cách

Vậy theo quy tắc cộng, có: [imath]18+20 = 38[/imath] cách chọn 1 học sinh làm lớp trưởng

II) Quy tắc nhân
1) Định nghĩa
Giả sử một công việc nào đó bao gồm 2 công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo [imath]m[/imath] cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể thực hiện theo [imath]n[/imath] cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo [imath]m.n[/imath] cách
2) Công thức quy tắc nhân
Nếu các tập [imath]A_{1},A_{2},..,A_{n}[/imath] đôi một rời nhau. Khi đó: [imath]\left | A_{1}\cap A_{2}\cap ...\cap A_{n} \right |=\left | A_{1} \right |.\left | A_{2} \right |....\left | A_{n} \right |[/imath]

VD1: Từ A đến B có 3 con đường, từ B đến C có 5 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường từ A đến C (qua B)?

Lời giải:
Công đoạn 1: Đi từ A đến B có 3 cách
Công đoạn 2: Đi từ B đến C có 5 cách

Vậy theo quy tắc nhân, có [imath]3.5 = 15[/imath] cách đi từ A đến C

VD2: Từ 5 chữ số [imath]1; 2; 3; 4;5[/imath]. Lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau?

Lời giải:
Gọi số cần lập là [imath]\overline{abcd}[/imath]
Công đoạn 1: Có 5 cách chọn chữ số [imath]a[/imath]
Công đoạn 2: Có 4 cách chọn chữ số [imath]b[/imath]
Công đoạn 3: Có 3 cách chọn chữ số [imath]c[/imath]
Công đoạn 4: Có 2 cách chọn chữ số [imath]d[/imath]
Công đoạn 5: Có 1 cách chọn chữ số [imath]e[/imath]

Vậy theo quy tắc nhân, lập được: [imath]5.4.3.2.1 = 120[/imath] số

VD3: Bạn An đang cần chọn một bộ quần áo và cà vạt để đi dự tiệc. Biết rằng An có 8 chiếc quần; 5 chiếc áo và 5 cái cà- vạt .Hỏi An có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:
Công đoạn 1: Chọn Áo có 5 cách
Công đoạn 2: Chọn quần có 8 cách
Công đoạn 3: Chọn cà vạt có 5 cách

Vậy theo quy tắc nhận có: [imath]5.8.5 = 200[/imath] cách chọn

 

[chi254]

BT SGK Bài 1​

1. Một thùng chứa 6 quả dưa hấu, một thủng khác chứa 15 quả thanh long. Từ hai thùng này,
a) có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu hoặc thanh long?
b) có bao nhiêu cách chọn một quả dưa hấu và một quả thanh long?

Lời giải:
a) Phương án 1: Chọn 1 quả dưa hấu có: 6 cách
Phương án 2: Chọn 1 quả thanh long có 15 cách

Áp dụng quy tắc cộng, có [imath]6 + 15 = 21[/imath] cách chọn 1 quả dưa hấu hoặc 1 quả thanh long

b) Công đoạn 1: Chọn 1 quả thanh long có: 15 cách
Công đoạn 2: Chọn 1 quả dưa hấu có 6 cách

Áp dụng quy tắc nhân có: [imath]6.15 = 90[/imath] cách chọn 1 quả dưa hấu và 1 quả thanh long


2. Tung đồng thời một đồng xu và một con xúc xắc, nhận được kết quả là mặt xuất hiện trên đồng xu (sấp hay ngửa) và số chấm xuất hiện trên con xúc xắc.
a) Tính số kết quả có thể xảy ra.
b) Vẽ sơ đồ hình cây và liệt kê tất cả các kết quả đó.

Lời giải:
a)
Công đoạn thứ nhất: Tung đồng xu, có 2 kết quả (sấp, ngửa).
Công đoạn thứ hai: Ứng với mỗi mặt của đồng xu, có 6 cách để tung xúc xắc (1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm).

Theo quy tắc nhân, ta có: [imath]2.6 = 12[/imath] kết quả khi tung đồng thời một đồng xu và một con xúc sắc.

b) Cập nhật hình sau

3) Tại một nhà hàng chuyên phục vụ cơm trưa văn phòng, thực đơn có 5 món chính, 3 món phụ và 4 loại đồ uống. Tại đây thực khách có bao nhiêu cách chọn bữa trưa gồm món chính, món phụ và một loại đồ uống?

Lời giải:
Cách chọn bữa trưa được chia làm 3 công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: Chọn món chính có 5 cách chọn
Công đoạn thứ hai: Ứng với mỗi món chính có 3 cách chọn món phụ.
Công đoạn thứ ba: Ứng với mỗi món chính, một món phụ vừa chọn, có thêm 4 cách chọn đồ uống.

Theo quy tắc nhân có [imath]5.3.4 = 60[/imath] cách để chọn bữa trưa.

Vậy có tất cả 60 cách để chọn một bữa trưa gồm món chính, món phụ và một loại đồ uống.

4) Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có ba chữ số, trong đó chữ số hàng trăm là chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ?

Lời giải:
Gọi số có ba chữ số cần tìm là [imath]\overline{abc}[/imath]

Vì [imath]c[/imath] là chữ số lẻ nên [imath]c[/imath] có 5 cách chọn.
Ứng với mỗi cách chọn đó, có 4 cách chọn chữ số [imath]a \ne 0[/imath] từ các chữ số chẵn.
Ứng với mỗi cách chọn đó, có 10 cách chọn chữ số [imath]b[/imath] từ các chữ số trên.

Từ đó áp dụng quy tắc nhân, có [imath]5.4.10 = 200[/imath] số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Vậy có [imath]200[/imath] số tự nhiên lẻ có ba chữ số thỏa mãn chữ số hàng trăm là chữ số chẵn, chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ.

5)


Lời giải:
a) Nếu An đi từ nhà đến trường mà đi qua nhà sách thì quãng đường chia làm hai giai đoạn:
Giai đoạn thứ nhất: Đi từ nhà đến nhà sách, có 3 cách.
Giai đoạn thứ hai: Đi từ nhà sách đến trường, có 2 cách.

Theo quy tắc nhân ta có [imath]3.2 = 6[/imath] cách đi từ nhà đến trường mà qua nhà sách.

b) An có bao nhiêu cách đi từ nhà đến trường có hai phương án:
Phương án 1: Đi từ nhà An trực tiếp đến trường, có 2 cách.
Phương án 2: Đi từ nhà An đến trường qua nhà sách, có 6 cách.

Theo quy tắc cộng có [imath]2 + 6 = 8[/imath] cách để đi từ nhà An đến trường.

 

[chi254]

Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp​

I) Hoán vị
1) Định nghĩa
Cho tập [imath]A[/imath] gồm [imath]n[/imath] phần tử [imath](n\geq 1)[/imath]. Khi sắp xếp [imath]n[/imath] phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập [imath]A[/imath]
2) Số hoán vị của n phần tử
Kí hiệu số hoán vị của [imath]n[/imath] phần tử là [imath]P_{n}[/imath]

VD1: Một nhóm bạn gồm sáu thành viên cùng đi xem phim, đã mua sáu vé có ghế ngồi củng dãy và kể tiếp nhau. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho các thành viên của nhóm?
Số cách sắp xếp chỗ ngồi là số hoán vị của 6 phần tử: [imath]P_6 = 6! = 720[/imath]

VD2: Một giải bóng đá có 14 đội bóng tham gia. Có bao nhiêu khả năng về thứ hạng các đội bóng khi mùa giải kết thúc?
Số khả năng về thứ hạng là số hoán vị của 14 phần tử: [imath]P_{14} = 14![/imath]


II) Chỉnh hợp
1) Định nghĩa
Cho tập [imath]A[/imath] gồm [imath]n[/imath] phần tử với số nguyên [imath]k[/imath] với [imath]1\leq k\leq n[/imath]. Khi lấy [imath]k[/imath] phần tử của [imath]A[/imath] và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chấp [imath]k[/imath] của [imath]n[/imath] phần tử của [imath]A[/imath]
2) Số chỉnh hợp
Kí hiệu: [imath]A_{n}^{k}[/imath] là số chỉnh hợp chập [imath]k[/imath] của [imath]n[/imath] phần tử
Công thức: [imath]A_{n}^{k}=\dfrac{n!}{(n-k)!}[/imath]

VD1: Tính:
a) [imath]A_5^4 = \dfrac{5!}{1!} = 120[/imath]

b) [imath]A_7^4 = 7.6.5.4 = 840[/imath]

VD2: Tứ bảy chữ số [imath]1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,[/imath] lập các số có ba chứa số khác nhau.
a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?
b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

a) Số các số lập được là chỉnh hợp chập 3 của 7: [imath]A_7^3[/imath]
b) Chọn chữ số cho hàng đơn vị có 4 cách
Chọn chữ số cho hàng trăm và chục: [imath]A_6^2[/imath]

Vậy số các số lẻ là: [imath]4.A_6^2[/imath]

III) Tổ hợp
1) Định nghĩa
Cho tập [imath]A[/imath] có [imath]n[/imath] phần tử và số nguyên [imath]k[/imath] với [imath]1\leq k\leq n[/imath]. Mỗi tập con của [imath]A[/imath] có [imath]k[/imath] phần tử được gọi là một tổ hợp chập [imath]k[/imath] của [imath]n[/imath] phần tử của [imath]A[/imath]
2) Số tổ hợp
Kí hiệu: [imath]C_{n}^{k}[/imath] là số tổ hợp chập [imath]k[/imath] của [imath]n[/imath] phần tử
Công thức: [imath]C_{n}^{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}[/imath]

VD1: Tính
a) [imath]C_7^2 = \dfrac{7!}{2!.5!} = 21[/imath]

b) [imath]C_9^0 + C_9^9 = 1 + 1 = 2[/imath]

VD2: Nội dung thi đấu đôi nam nữ của giải bóng bàn cấp trưởng có 7 đội tham gia. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.
a) Nội dung này có tất cả bao nhiêu trận đấu?
b) Sau giải đấu, ba đội có thành tích tốt nhất sẽ được chọn đi thi đấu cấp liên trưởng. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra về ba đội được chọn đi thi đấu cấp liên trường.

a) [imath]C_7^2 = 21[/imath]
b) [imath]C_7^3 = 35[/imath]

IV) Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay


Tham khảo thêm: Một số lỗi sai thường gặp khi giải bài toán tổ hợp

 

[chi254]

BT SGK Bài 2​

1) Cần sắp xếp một nhóm 5 học sinh ngồi vào một dãy 5 chiếc ghế.
a) Có bao nhiêu cách xếp?
b) Nếu bạn Nga (một thành viên trong nhóm) nhất định muốn ngồi vào chiếc ghế ngoài cùng bên trái, thì có bao nhiêu cách xếp?

Lời giải:
a) Số cách xếp là hoán vị của 5 phần tử. Vậy có số cách xếp là: [imath]5![/imath]
b) Số cách xếp là hoán vị của 4 bạn còn lại. Vậy có: [imath]4![/imath] cách

2) Từ các chữ số sau đây, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau?
a) [imath]1; 2; 3; 4; 5; 6.[/imath]
b) [imath]0; 1; 2; 3; 4; 5.[/imath]

Lời giải:
a) Số số lập được là chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử có: [imath]A_6^4 = 360[/imath]
b) Lập một dãy 4 chữ số bất kì ( kể cả chữ số 0 đứng đầu) có: [imath]A_6^4 = 360[/imath] số
Dãy 4 chữ số có số [imath]0[/imath] đứng đầu là: [imath]A_5^3[/imath]

Vậy lập được: [imath]A_6^4 - A_5^3 = 300[/imath]

3) Tổ Một có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Có bao nhiêu cách cử 3 bạn của tổ làm trực nhật trong mỗi trường hợp sau?
a) 3 bạn được chọn bất kì;
b) 3 bạn gồm 2 nam và 1 nữ.

Lời giải:
a) Số cách cử 3 bạn bất kì là số tổ hợp chập 3 của 9 phần tử có: [imath]C_9^3 = 84[/imath] cách
b) Số cách chọn 2 bạn nam là số chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: [imath]C_4^2 = 6[/imath]
Số cách chọn 1 bạn nữ là số chỉnh hợp chập 1 của 5 phần tử: [imath]C_5^1 = 5[/imath]

Vậy số cách chọn được 3 bạn gồm 2 nam, 1 nữ là: [imath]5.6 = 30[/imath] cách

4) Từ một danh sách gồm 8 người, người ta bầu ra một ủy ban gồm một chủ tịch, một phó chủ tịch, một thư kí và một ủy viên. Có bao nhiêu khả năng có thể có về kết quả bầu ủy ban này?

Lời giải:
Số khả năng về kết quả ủy ban này số chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử có: [imath]A_8^4 = 1680[/imath] cách

5) Một nhóm gồm 7 bạn đến trung tâm chăm sóc người cao tuổi làm từ thiện. Theo chỉ dẫn của trung tâm, 3 bạn hỗ trợ đi lại, 2 bạn hỗ trợ tắm rửa và 2 bạn hỗ trợ ăn uống. Có bao nhiêu cách phân công các bạn trong nhóm làm công việc trên?

Lời giải:
Bước 1: Chọn 3 bạn hỗ trợ đi lại là số chỉnh hợp chập 3 của 7 phần tử: [imath]C_7^3[/imath] cách
Bước 2: Chọn 2 bạn hỗ trợ tắm rửa là số chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: [imath]C_4^2[/imath] cách
Bước 3: Chọn 2 bạn hỗ trợ ăn uống có: [imath]C_2^2[/imath] cách

Vậy có số cách là: [imath]C_7^3.C_4^2 . 1 = 210[/imath]

6) Có 4 đường thẳng song song cắt 5 đường thẳng song song khác tạo thành những hình bình hành (như Hình 10). Có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành?

Lời giải:
Cứ 1 hình bình hành thì được tạo bởi 2 cặp đường thẳng song song
Vậy số hình bình hành được tạo thành là: [imath]C_5^2.C_4^2 = 60[/imath]

7) Mùa giải 2019, giải bóng đá vô địch quốc gia (V.League) có 14 đội bóng tham gia. Các đội bóng đấu vòng tròn hai lượt đi và lượt về. Hỏi cả giải đấu có bao nhiêu trận đấu?

Lời giải:
Cả giải đấu có số trận đấu là chỉnh hợp chập 2 của 14: [imath]A_{14}^2 = 182[/imath] trận

 

[chi254]

Bài 3: Nhị thức Newton​

Ở cấp THCS ta đã có: [imath](a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ; (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3[/imath]

Toán 10 sẽ tiếp cận thêm 2 công thức mũ 4 và 5:

[imath](a + b)^4 = C_4^0.a^4 + C_4^1a^3b + C_4^2.a^2b^2 + C_4^3ab^3 + C_4^4b^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4[/imath]

[imath](a + b)^5 = C_5^0.a^5 + C_5^1a^4b + C_5^2.a^3b^2 + C_5^2a^2b^3 + C_5^4.ab^4 + C_5^5.b^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5[/imath]

BT SGK: ​

1) Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:
a) [imath](3x + y)^4[/imath]
b) [imath]x - \sqrt{2})^5[/imath]

Áp dụng khai triển nhị thức Newton với [imath]a = 3x[/imath] và [imath]b = y[/imath], ta có:

[imath](3x + y)^4 = C_4^0.(3x)^4+C_4^1.(3x)^3.y+C_4^2.(3x)^2.y^2+C_4^3.(3x)^1.y^3+C_4^4.y^4C = 81x^4+108x^3y+54x^2y^2+12xy^3+y^4[/imath]

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với [imath]a = x[/imath] và [imath]b = -\sqrt{2}[/imath], ta có:

[imath](x−\sqrt{2})^5= C_5^0x^5 + C_5^1x^4.(-\sqrt{2})^1 + C_5^2.x^3.(−\sqrt{2})^2 + C_5^3.x^2 (-\sqrt{2})^3 + C_5^4.x.(-\sqrt{2})^4 + C_5^5(−\sqrt{2})^5= x^5 -5\sqrt{2}.x^4 + 20x^3 -20\sqrt{2}.x^2 + 20x - 4\sqrt{2}[/imath]

2) Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) [imath](2+\sqrt{2})^4[/imath]
[imath]= C_4^42^4+C_4^1.2^3(\sqrt{2})+C_4^4.2^2(\sqrt{2})^2+C_4^3.2.(\sqrt{2})^3+C_4^4.(\sqrt{2})^4[/imath]

[imath]= 16 + 32\sqrt{2} + 48 + 16\sqrt{2} + 4 = 68 + 48\sqrt{2}[/imath]

b) [imath](2- \sqrt{2})^4[/imath]

[imath]= C_4^42^4+C_4^1.2^3(-\sqrt{2})+C_4^4.2^2(-\sqrt{2})^2+C_4^3.2.(-\sqrt{2})^3+C_4^4.(-\sqrt{2})^4 = 68 - 48\sqrt{2}[/imath]

Khi đó: [imath](2+\sqrt{2})^4 + (2- \sqrt{2})^4 = 136[/imath]

c) [imath](1 - \sqrt{3})^5[/imath]
Tương tự tính được: [imath]76 - 44\sqrt{3}[/imath]

3) Tìm hệ số của [imath]x^3[/imath] trong khai triển [imath](3x – 2)^5[/imath]

[imath](3x - 2)^5[/imath] [imath]=C_5^0.(3x)^5+C_5^1.(3x)^4.(-2)+C_5^3.(3x)^3(-2)^2+C_5^3.(3x)^2.(-2)^3+C_5^4.(3x)^1(-2)^4+C_5^5(-2)^5[/imath]

[imath]= 243x^5 - 810x^4 + 1080x^3 - 720x^2 + 240x - 32[/imath]

Khi đó hệ số của [imath]x^3[/imath] trong khai triển là [imath]1080[/imath].

4) Cho [imath]A = \begin{Bmatrix} a_1; a_2; a_3; a_4; a_5 \end{Bmatrix}[/imath] là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ [imath](1; 3; 5)[/imath] phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn [imath](0; 2; 4)[/imath] phần tử của A.

Số tập con có lẻ phần tử là: [imath]C_5^1 + C_5^3 + C_5^5 = 16[/imath]
Số tập con có lẻ phần tử là: [imath]C_5^0 + C_5^2 + C_5^4= 16[/imath]
Vậy....

5) CMR: [imath]C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0[/imath]

Ta có: [imath](x -1)^5 = C_5^0.x^5 + C_5^1.x^4.(-1) + C_5^2x^3.(-1)^2 + C_5^3.x^2.(-1)^3 + C_5^4.x.(-1)^4 + C_5^5(-1)^5[/imath]

[imath]= C_5^0x^5- C_5^1x^4 + C_5^2.x^3- C_5^3.x^2 + C_5^4.x^1 - C_5^5[/imath]

Thay [imath]x = 1 \to C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0[/imath]

 

[chi254]

Bài tập cuối chương VIII
​

1) Một nhóm tình nguyện viên gồm 4 học sinh lớp 10A, 5 học sinh lớp 10B và 6 học sinh lớp 10C. Để tham gia một công việc tình nguyện, nhóm có bao nhiêu cách cử ra:
a) 1 thành viên của nhóm?
b) 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau?
c) 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau?

Lời giải:
a) Tổng số học sinh 3 nhóm là: [imath]4 + 5 +6 = 15[/imath]
Số cách để nhóm cử ra một thành viên của nhóm tham gia một công việc tình nguyện là tổ hợp chập 1 của 15. Do đó ta có số cách cử một thành viên trong nhóm là: [imath]C_{15}^1 = 15[/imath]

b) Số cách để nhóm cử ra 3 thành viên của nhóm đang học ở ba lớp khác nhau tham gia một công việc tình nguyện là: [imath]C_4^1.C_5^1.C_6^1=120[/imath] (cách).

c) Số cách cử ra 2 thành viên của nhóm đang học ở hai lớp khác nhau là: [imath]C_4^1.C_5^1 + C_5^1.C_6^1 + C_6^1.C_4^1 = 74[/imath] (cách)

2) Một khóa số có 3 vòng số (mỗi vòng gồm 10 số, từ 0 đến 9). Người dùng cần đặt mật mã cho khóa là một dãy số có ba chữ số. Để mở khóa, cần xoay các vòng số đề dãy phía trước khóa trùng với mật mã đã chọn. Có bao nhiêu cách chọn mật mã cho khóa?

Lời giải:
Mật mã là một dãy số có ba chữ số nên việc thiết lập mật mã chia làm ba giai đoạn:
- Chữ số đầu tiên có 10 cách chọn;
- Chữ số thứ hai có 10 cách chọn;
- Chữ số thứ ba có 10 cách chọn.
Theo quy tắc nhân, ta có: 10.10.10 = 1 000 mật mã.

3. Từ 6 thẻ số như Hình 2, có thể ghép để tạo thành bao nhiêu

a) số tự nhiên có sáu chữ số?
b) số tự nhiên lẻ có sáu chữ số?
c) số tự nhiên có năm chữ số?
d) số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:
a) Số tự nhiên có sáu chữ số với 6 chữ số được lấy từ 6 thẻ là hoán vị của 6 chữ số. Vậy nên lập được: [imath]P_6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720[/imath] số.

b) Việc lập số tự nhiên lẻ có sáu chữ số lấy từ 6 thẻ được chia làm hai giai đoạn:
- Giai đoạn 1. Chọn chữ số hàng đơn vị lấy từ các tấm thẻ có chữ số lẻ [imath]1; 3; 5[/imath], có: 3 cách.
- Giai đoạn 2. Chọn 5 chữ số còn lại lấy từ 5 tấm thẻ còn lại là hoán vị của 5 chữ số, do đó có [imath]5! = 120[/imath] cách.
Theo quy tắc nhân, ta có: [imath]3.120 = 360[/imath] số tự nhiên lẻ có sáu chữ số.

c) Số số tự nhiên có năm chữ số được lấy từ 6 tấm thẻ là số chỉnh hợp chập 5 của 6. Vậy nên có: [imath]A_6^5=720[/imath] số.
d) Gọi số tự nhiên có năm chữ số cần tìm là: [imath]\overline{abcde}[/imath]

Vì [imath]\overline{abcde} > 50000[/imath] nên: [imath]a = 5[/imath] hoặc [imath]a = 6[/imath]

Bốn chữ số còn lại được chọn từ số trên bốn tấm thẻ còn lại là hoán vị của 4 chữ số, do đó có [imath]4! = 24[/imath] cách.

Theo quy tắc nhân, ta có: [imath]2.24 = 48[/imath] số tự nhiên có năm chữ số lớn hơn 50 000.

4) Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:
Bữa trưa của nhóm khách được chia thành 3 giai đoạn:
- Giai đoạn thứ nhất: Chọn 2 món mặn, có [imath]C_6^2=15[/imath] cách.
- Giai đoạn thứ hai: Ứng với 2 món mặn, chọn 2 món rau có [imath]C_5^2=10[/imath] cách.
- Giai đoạn thứ ba: Ứng với 2 món mặn, 2 món rau, chọn 1 món canh có [imath]C_3^1=3[/imath] cách.
Theo quy tắc nhân, ta có: [imath]15.10.3 = 450[/imath] cách.

5) Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như Hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?


Lời giải:
Lấy 1 điểm ở đường trên và 2 điểm ở đường dưới để tạo thành 1 tam giác và ngược lại
Vậy số cách là: [imath]C_4^1.C_5^2 + C_4^2.C_5^1 = 70[/imath]

6) Khai triển các biểu thức:
a) [imath]\left (a - \dfrac{b}{2} \right)^4[/imath]
b) [imath](2x^2 + 1)^5.[/imath]

Lời giải:
Áp dụng công thức, bạn đọc tự làm và đối chiếu KQ:
a) [imath]\left (a - \dfrac{b}{2} \right)^4= a^4 - 2a^3b + \dfrac{3}{2}.a^2b^2 - \dfrac{1}{2}.ab^3 + \dfrac{1}{16}.ab^4[/imath]

b) [imath](2x^2 + 1)^5 = 32x^{10} + 80x^8 + 80x^6 + 40x^4 + 10x^2 + 1[/imath]

7) Hãy khai triển và rút gọn biểu thức: [imath](1 + x)^4 + (1 – x)^4[/imath].
Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng giá trị của biểu thức [imath]1,05^4 + 0,95^4[/imath]

Lời giải:
Hướng dẫn: [imath](1 + x)^4 + (1 – x)^4 = 2x^4 + 12x^2 +2[/imath]
Tính: [imath]1,05^4 + 0,95^4[/imath]
Tương ứng [imath]x = 0.05[/imath].

_Hoàn thành chương_