Toán 10 [SGK mới] Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,214
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1. Tích của một vectơ với một số

Tích của một vectơ [imath]\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}[/imath] với một số thực [imath]k>0[/imath] là một vectơ, kí hiệu [imath]k\overrightarrow{a}[/imath], cùng hướng với vectơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và có độ dài bằng [imath]k|\overrightarrow{a}|[/imath]

Tích của một vectơ [imath]\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0}[/imath] với một số thực [imath]k<0[/imath] là một vectơ, kí hiệu [imath]k\overrightarrow{a}[/imath], ngược hướng với vectơ [imath]\overrightarrow{a}[/imath] và có độ dài bằng [imath](-k)|\overrightarrow{a}|[/imath]
1668063484341.png1668063509555.png

Ví dụ: Trong [imath]\Delta ABC[/imath], hai trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G.1668063532708.png

Ta có: [imath]\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GM}, \overrightarrow{MN}=\dfrac{-1}2\overrightarrow{AB}[/imath]

Luyện tập 1. Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B. Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để [imath]\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}[/imath]

[imath](\Rightarrow )[/imath] M thuộc đường thẳng d

Khi đó tồn tại [imath]t=\dfrac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|}[/imath] nếu M nằm bên phải A hoặc [imath]t=-\dfrac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{AB}|}[/imath] nếu M nằm bên trái A

Do đó [imath]\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}[/imath] (vì cùng độ dài và cùng hướng)

[imath](\Leftarrow)[/imath] Ta có: [imath]\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}[/imath] nên [imath]\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}[/imath] cùng phương với nhau, do đó [imath]AM//AB\Rightarrow A,M,B[/imath] thẳng hàng hay [imath]M\in d[/imath]

Vậy câu a) đúng

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có [imath]\overrightarrow{AM}=\dfrac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}[/imath]

Không đúng vì nếu M nằm khác phía với B so với A thì [imath]\overrightarrow{AM}=-\dfrac{AM}{AB}\overrightarrow{AB}[/imath]

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số [imath]t\le 0[/imath] để [imath]\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}[/imath] (đúng)

2. Các tính chất của phép nhân với một số

Với hai vectơ [imath]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/imath] và hai số thực [imath]k,t[/imath] ta luôn có:

[imath]k(t\overrightarrow{a})=(kt)\overrightarrow{a}[/imath]

[imath](k+t)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{a}[/imath]

[imath]k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}; k(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}-k\overrightarrow{b}[/imath]

[imath]1\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}; (-1)\overrightarrow{a}=-\overrightarrow{a}[/imath]

Luyện tập 2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với điểm O tùy ý, ta có

[math]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}[/math]
1668063454715.png
Ta chứng minh [imath]\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{2}3\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}3\overrightarrow{BE}+\dfrac{2}3\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\iff \dfrac{3}2\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}2\overrightarrow{BC}+\dfrac{3}2\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}[/imath] (luôn đúng)

Ta có: [imath]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}[/imath]

Chú ý: bài toán ở trên RẤT QUAN TRỌNG vì hay được xài, sau này được dùng luôn, không cần chứng minh lại.
 

Alice_www

Cựu Mod Toán
Thành viên
8 Tháng mười một 2021
1,806
4
2,214
316
Bà Rịa - Vũng Tàu
BÀI TẬP

4.11 Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Hãy biểu thị [imath]\overrightarrow{AM}[/imath] theo hai vectơ [imath]\overrightarrow{AB}[/imath] và [imath]\overrightarrow{AD}[/imath]

[imath]\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}2\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}2\overrightarrow{AD}[/imath]

4.12 Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,CD. Chứng minh rằng [imath]\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}[/imath]

Ta có: M,N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,CD nên [imath]\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}=2\overrightarrow{MN}[/imath]

[imath]\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{MN}[/imath]

4.13 Cho hai điểm phân biệt A và B

a) Hãy xác định điểm K sao cho [imath]\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{2KB}=\overrightarrow{0}[/imath]

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: [imath]\overrightarrow{OK}=\dfrac{1}3\overrightarrow{OA}+\dfrac{2}3\overrightarrow{OB}[/imath]

Giải

a) [imath]\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}[/imath]

[imath]\Rightarrow \overrightarrow{KA},\overrightarrow{KB}[/imath] ngược hướng và [imath]KA=2KB[/imath]

Vậy [imath]K[/imath] nằm giữa 2 điểm [imath]A,B[/imath] và [imath]AK=\dfrac{2}3AB[/imath]

b) [imath]3\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}[/imath]

[imath]\iff 3\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{OK}+2\overrightarrow{KB}[/imath]

[imath]\iff \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OK}[/imath] (luôn đúng)

4.14 Cho tam giác ABC
1668070380037.png
a) Hãy xác định điểm M để [imath]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}[/imath]

[imath]=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MC}[/imath] (với G là trọng tâm tam giác ABC)

[imath]=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}[/imath]

[imath]=4\overrightarrow{MG}+4\overrightarrow{GD}[/imath] (D nằm giữa G và C, GC=4GD)

[imath]\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}[/imath]

[imath]\iff \overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\iff M\equiv D[/imath]

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có [imath]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}[/imath]

[imath]\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OM}[/imath]

[imath]\iff \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{OM}+2\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{OM}[/imath]

[imath]\iff 4\overrightarrow{OM}=4\overrightarrow{OM}[/imath] (luôn đúng)

4.15 Chất điểm A chịu tác động của ba lực [imath]\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}[/imath] như hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là [imath]\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{0}[/imath]). Tính độ lớn của các lực [imath]\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}[/imath] biết [imath]\overrightarrow{F_1}[/imath] có độ lớn là 20N.

Đặt [imath]\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{AD}[/imath]

Kẻ hình bình hành ABEC

Ta có: [imath]\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AE}[/imath]

[imath]\Rightarrow \overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AD}[/imath]

Xét [imath]\Delta ACE[/imath] có

[imath]\tan \widehat{BAE}=\dfrac{BE}{AB}=\dfrac{\sqrt3}3\Rightarrow AC=BE=\dfrac{20\sqrt3}3[/imath]

[imath]AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\dfrac{40\sqrt3}3\Rightarrow AD=\dfrac{40\sqrt3}3[/imath]
 
Top Bottom