Toán 10 [SGK Mới] Bài 11: Tích vô hướng của hai vector

[Timeless time]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR​

1. Góc giữa hai vector
Cho hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ khác $\overrightarrow{0}$.
Từ một điểm $A$ tuỳ ý, vẽ các vector $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}$.
Khi đó, số đo góc $BAC$ được gọi là số đo góc giữa hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay đơn giản là góc giữa vector $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$.
Kí hiệu là: $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$
Chú ý:
- Quy ước giữa hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{0}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
- Nếu $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 90^\circ$ thì ta nói rằng $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$ hoặc $\overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{u}$
- Đặc biệt $\overrightarrow{0}$ được coi là vuông góc với mọi vector

Ví dụ: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và $\hat B = 30^\circ$. Tính $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}), (\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}), (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})$

Giải:

Ta có: - $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC} = 90^\circ$ - $(\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{CB}) = \widehat{ACB} =60^\circ$ - $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{DB}, \overrightarrow{BC}) = \widehat{DBC} = 150^\circ$

2. Tích vô hướng của 2 vector
Tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức sau: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{u}| \cdot \cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$
Chú ý:
- $\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \iff \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 0$
- $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u}$ còn được viết là $\overrightarrow{u}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vector $\overrightarrow u$. Ta có: $\overrightarrow{u}^2 = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{u}| \cdot \cos 0^\circ = |\overrightarrow{u}| ^2$

Ví dụ: Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính các tích vô hướng sau: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$.

Giải:

- Vì $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 90^\circ$ nên $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = 0$ Hình vuông có cạnh bằng $a$ nên đường chéo bằng $a\sqrt 2$. Mặt khác $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45^\circ, (\overrightarrow{AB} ,\overrightarrow{BD} = 35^\circ$, do đó: - $( \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} )= AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \dfrac{\sqrt 2}2 = a^2$ - $(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}) = AB \cdot BD \cdot \cos 135^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \left(-\dfrac{\sqrt 2}2 \right) = -a^2$

3. Biểu thức toạ độ và tính chất của tích vô hướng

3.1 Định nghĩa
Tích vô hướng của hai vector $\overrightarrow{u} = (x;y), \overrightarrow{v} = (x',y')$ được tính theo công thức: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = xx'+yy'$
Nhận xét:
- Hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $xx' + yy' = 0$
- Bình phương vô hướng của $\overrightarrow{u} (x;y)$ là: $\overrightarrow{u}^2 = x^2 + y^2$
- Nếu $\overrightarrow{u} \ne 0$ và $\overrightarrow{v} \ne 0$ thì $\cos (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = \dfrac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|} = \dfrac{xx' + yy'}{\sqrt{x^2 + y^2} \cdot \sqrt{x'^2 + y'^2}}$

Ví dụ: Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tính tích vô hướng của các cặp vector sau:
a. $\overrightarrow{u} = (2;-3), \overrightarrow{v} = (5;3)$.
b. Hai vector $\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}$ tương ứng với trục $Ox, Oy$.

Giải:
a. Ta có: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v} = 2 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 = 1$
b. Vì $\overrightarrow{i} = (1;0)$ và $\overrightarrow{j} = (0;1)$ nên $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j} = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$

3.2 Tích chất của tích vô hướng
Với ba vector $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}$ bất kì và mọi số thực $k$ ta có :
- $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$ (tính chất giao hoán)
- $\overrightarrow{u}( \overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} +\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$ ( tính chất phân phối)
- $( k \cdot \overrightarrow{ u} ) \cdot \overrightarrow{v} = ( k \cdot \overrightarrow{ u} \cdot \overrightarrow{v} ) = ( k \cdot \overrightarrow{ v} ) \cdot \overrightarrow{u}$

 

[Timeless time]

GIẢI BÀI TẬP SGK​

4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $\overrightarrow{a} (-3;1), \overrightarrow{b} (2;6)$
b. $\overrightarrow{a} (3;1), \overrightarrow{b} (2;4)$
c. $\overrightarrow{b} (-\sqrt 2; 1), \overrightarrow{b} (2;- \sqrt 2)$

Lời giải:
a.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 0 \implies (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 90^\circ$
b.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}, |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$
$\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}= \dfrac{10}{\sqrt{10} \cdot 2 \sqrt 5} = \dfrac{1}{\sqrt 2}$
$\implies (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = 45^\circ$
c.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-\sqrt 2)\cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt 2) = -3\sqrt 2$
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{( -\sqrt 2)^2 +1^2} = \sqrt 3 , |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt 2)^2} = \sqrt 6$
$\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}= \dfrac{-3\sqrt 2}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 6} = - 1$
$\implies (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = 180^\circ$

4.22. Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ để:
a. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$
b. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$

Lời giải:
a.
Ta có: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v} \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u})$
Để $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$ thì $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 1 \iff (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 0^\circ$
$\implies \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng hướng
b.
Ta có: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v} \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u})$
Để $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$ thì $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) =- 1 \iff (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 180^\circ$
$\implies \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ ngược hướng

4.23. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;2), B(-4;3)$. Gọi $M(t;0)$ là một điểm thuộc trục hoành.
a. Tính $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo $t$
b. Tính $t$ để $\widehat{AMB} = 90^\circ$

Lời giải:
a. Ta có $\overrightarrow{AM} = (t-1; -2), \overrightarrow{BM} = (t + 4; -3)$
$\implies \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t - 1)(t+4) + (-2) (-3) = t^2 + 3t + 2$
b. Để $\widehat{AMB} = 90^\circ$ thì $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$
$\iff t^2 + 3t + 2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = -1 \\ t = -2 \end{array} \right.$

 

[Timeless time]

GIẢI BÀI TẬP SGK​

4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong mỗi trường hợp sau:
a. $\overrightarrow{a} (-3;1), \overrightarrow{b} (2;6)$
b. $\overrightarrow{a} (3;1), \overrightarrow{b} (2;4)$
c. $\overrightarrow{b} (-\sqrt 2; 1), \overrightarrow{b} (2;- \sqrt 2)$

Lời giải:
a.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 0 \implies (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 90^\circ$
b.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 10$
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}, |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}$
$\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}= \dfrac{10}{\sqrt{10} \cdot 2 \sqrt 5} = \dfrac{1}{\sqrt 2}$
$\implies (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = 45^\circ$
c.
Ta có: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (-\sqrt 2)\cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt 2) = -3\sqrt 2$
$|\overrightarrow{a}| = \sqrt{( -\sqrt 2)^2 +1^2} = \sqrt 3 , |\overrightarrow{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt 2)^2} = \sqrt 6$
$\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}= \dfrac{-3\sqrt 2}{\sqrt 3 \cdot \sqrt 6} = - 1$
$\implies (\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}) = 180^\circ$

4.22. Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ để:
a. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$
b. $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$

Lời giải:
a.
Ta có: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v} \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u})$
Để $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$ thì $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 1 \iff (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 0^\circ$
$\implies \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng hướng
b.
Ta có: $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v} \cdot \cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u})$
Để $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = - |\overrightarrow{u}| \cdot |\overrightarrow{v}|$ thì $\cos(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) =- 1 \iff (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u}) = 180^\circ$
$\implies \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ ngược hướng

4.23. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(1;2), B(-4;3)$. Gọi $M(t;0)$ là một điểm thuộc trục hoành.
a. Tính $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ theo $t$
b. Tính $t$ để $\widehat{AMB} = 90^\circ$

Lời giải:
a. Ta có $\overrightarrow{AM} = (t-1; -2), \overrightarrow{BM} = (t + 4; -3)$
$\implies \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = (t - 1)(t+4) + (-2) (-3) = t^2 + 3t + 2$
b. Để $\widehat{AMB} = 90^\circ$ thì $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AM} = 0$
$\iff t^2 + 3t + 2 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} t = -1 \\ t = -2 \end{array} \right.$

Timeless time4.24. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(-4;1), B(2;4), C(2;-2)$.
a) Giải tam giác $ABC$.
b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.

GIải:
a. Ta có:
$\overrightarrow{AB} = (6;3) \implies AB = 3\sqrt 5$
$\overrightarrow{AC} = (6;-3) \implies AC = 3\sqrt 5$
$\overrightarrow{BC} = (0;-6) \implies BC = 6$
Áp dụng định lý cosin ta có: $\cos A = \dfrac{AC^2 + AB^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \dfrac{3}5$
$\implies \hat A \approx 53,15^\circ$
Vì tam giác $ABC$ có $AB = AC$ nên suy ra $\hat B = \hat C \approx 63,44^ \circ$
Vậy tam giác $ABC$ có : $AB = AC = 3\sqrt 5, BC = 6 , \hat A \approx 53,15^\circ, \hat B = \hat C \approx 63,44^\circ$
b.
Gọi $H (x;y)$ là toạ độ trực tâm tam giác $ABC$.
Ta có: $
$\overrightarrow{AH} (x+4; y - 1) , \overrightarrow{BC}(0;-6), \overrightarrow{BH} (x-2 ; y - 4), \overrightarrow{AC} (6;-3)$
Vì $AH \perp BC \implies \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \iff (x + 4).0 + (y – 1).(–6) = 0 \iff y = 1$
Vì $BH \perp AC \implies \overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \iff (x – 2).6 + (y – 4).(–3) = 0 \iff x = \dfrac{1}2$
Vậy $H \left (\dfrac{1}2;1 \right)$

4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$, ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}2 \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$.

Giải:
Ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}2 AB \cdot AC \cdot \sin (\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})$
$= \dfrac{1}2 AB \cdot AC \sqrt{1 - \cos^2(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC})}$
$= \dfrac{1}2 AB \cdot AC \sqrt{1 - \cos \dfrac{(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 }}$
$= \dfrac{1}2 AB \cdot AC \cdot \sqrt{\dfrac{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2}}$
$= \dfrac{1}2 \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$

4.26. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng với mọi điểm $M$, ta có: $MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$.

Giải:
Ta có: $MA^2 + MB^2 + MC^2 = \overrightarrow{MA}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + \overrightarrow{MC}^2$
$= (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GB})^2 + (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GC})^2$
$= 3\overrightarrow{MG}^2 + 2\overrightarrow{MG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2$
Có: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$
$\implies \overrightarrow{MG} \cdot (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = \overrightarrow{MG} \cdot \overrightarrow{0} = 0$
$\implies MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3\overrightarrow{MG}^2 + \overrightarrow{GA}^2 + \overrightarrow{GB}^2 + \overrightarrow{GC}^2$

 

[Timeless time]

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTOR
​

Dạng 1: Chứng minh hai vector vuông góc
Dạng 2: Tìm $m$ để góc giữa hai vector bằng một số cho trước
Dạng 3: Tính độ dài vector, khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ
Dạng: ......

DẠNG 1: CHỨNG MINH HAI VECTOR VUÔNG GÓC​

I. Phương pháp giải:
+ Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa
Nếu $(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = 90^\circ$ thì hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau
+ Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích vô hướng và áp dụng trong hệ tọa độ
Cho $\overrightarrow{a}(x;y); \overrightarrow{b}(x';y')$
Khi đó: $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \iff \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 0\iff xx'+ yy' = 0$

II. Bài tập vận dụng

VD 1: Cho hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau và $|\overrightarrow{a}| = 1$ và $|\overrightarrow{b}| = \sqrt 2$ . Chứng minh hai vector $2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.

Giải:
Do vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau $\implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =0$
Ta có: $2\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}= 2 \overrightarrow{a}^2 + 2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}- \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}^2$
$= 2\overrightarrow{a}^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - \overrightarrow{b}^2$
$= 2|\overrightarrow{a}|^2 + \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} - |\overrightarrow{b}|^2$
$= 2\cdot 1^2 + 0 - (\sqrt 2)^2$
$=0$

VD 2: Cho tứ giác $ABCD$ có $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$. Chứng minh hai vector $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc.

Giải:
$A B^{2}+C D^{2}=B C^{2}+A D^{2}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}^{2}+\overrightarrow{C D}^{2}=\overrightarrow{B C}^{2}+\overrightarrow{A D}^{2}$ (bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}^{2}-\overrightarrow{A D}^{2}+\overrightarrow{C D}^{2}-\overrightarrow{B C}^{2}=0$
$\Leftrightarrow(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D})(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B C})(\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})+(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B C}) \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{0}$ (quy tắc ba điểm)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D})-\overrightarrow{D B}(\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{0}$ (vectơ đối)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{B C})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C}$ ) $=\overrightarrow{0}$ (quy tắc ba điểm)
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B}(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C})=\overrightarrow{0}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B} \cdot 2 \overrightarrow{A C}=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{D B} \cdot \overrightarrow{A C}=0$
Vậy $\overrightarrow{D B} \perp \overrightarrow{A C}$.

III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = a, AC = 2a$. Gọi M là trung điểm của $BC$ và điểm $D$ bất kỳ thuộc cạnh $AC$. Tính $AD$ theo $a$ để $BD \perp AM$.
Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho vector $\overrightarrow{a}=(9;3)$. Vectơ nào sau đây không vuông góc với vector $\overrightarrow{a}$.
A. $\overrightarrow{b}= (1;-3)$
B. $\overrightarrow{b}= (2;-6)$
C. $\overrightarrow{b}=(1;3)$
D. $\overrightarrow{b}=(-1;3)$
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vector $\overrightarrow{u} = \dfrac{1}2 \overrightarrow{i} - 5\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{v} = k\overrightarrow{i} - 4\overrightarrow{b}$ . Tìm $k$ để hai vector $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau.
A. $k = 20$
B. $k = 40$
C. $k = -20$
D. $k = -40$

 

[Timeless time]

DẠNG 2: TÌM M ĐỂ GÓC GIỮA HAI VECTOR BẰNG MỘT SỐ CHO TRƯỚC​

I. Phương pháp giải:
Các bước làm bài:
Bước 1: Xác định vector (nếu chưa có) theo tham số $m$
Bước 2: Tính độ dài các vector theo tham số $m$
Bước 3: Áp dụng công thức tính $\cos$ góc giữa hai vector
Trong hệ toạ độ cho hai vector $\overrightarrow{a} = (a_1;a_2)$ và $\overrightarrow{b} = (b_1;b_2)$
$\cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} =\dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2}}$
Bước 4: Đưa ra phương trình chứa ẩn $m$
Góc giữa hai vector bằng $\alpha \iff \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \cos \alpha$
Bước 5: Giải phương trình đưa ra giá trị của $m$

II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vector $\overrightarrow{a}= (3;m)$ và $\overrightarrow{b}= (1;7)$. Xác định $m$ để góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $45^\circ$
Giải:
Ta có: $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|} = \dfrac{3 \cdot 1 + 7 \cdot m}{\sqrt{3^2 + m^2} + \sqrt{1^2 + 7^2}} = \dfrac{3 + 7m}{ \sqrt{m^2 + 9}\cdot \sqrt{50}}$
Có góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} = 45^\circ \implies \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \cos 45^\circ$
$\iff \dfrac{3 + 7m}{m^2 + 9 \sqrt{50}} = \dfrac{\sqrt 2}2$
$\iff 2(3+ 7m) = \sqrt 2 \cdot \sqrt{m^2 + 9} \cdot \sqrt{50}$
$\iff 5\sqrt{m^2 + 9} = 7m + 3$
$\iff \begin{cases} 7m + 3 \ge 0 \\ ( 5\sqrt{m^2 + 9})^2 = (7m +3)^2 \end{cases}$
$\iff \begin{cases} m \ge - \dfrac{3}7 \\ 25(m^2 + 9) = 49^2 + 42m + 9 \end{cases}$
$\iff \dots$
$\implies m = \dfrac{9}4$

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vector $\overrightarrow{u} = (4;1)$ và vector $\overrightarrow{v} = (1;4)$. Tìm $m$ để vector $\overrightarrow{a}=m.\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$ tạo với vector $\overrightarrow{b} =\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}$ một góc $45^\circ$.
Giải:
Ta có:
$\overrightarrow{a} = m \cdot \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = (4m +1; m+ 4)$
$\overrightarrow{b} = \overrightarrow{i} + \overrightarrow{j} = (1;1)$
Có: $\cos(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \dfrac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}$
$= \dfrac{(4m+1)\cdot 1 + (m+ 4)\cdot 1}{\sqrt{(4m+ 1)^2 + (m + 4)^2}\cdot \sqrt{1^2 +1^2}}$
$= \dfrac{5m + 5}{\sqrt{17m^2 + 16m + 17}\cdot \sqrt 2}$
Có góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} = 45^\circ \implies \cos (\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}) = \cos 45^\circ$
$\iff \dfrac{5m + 5}{\sqrt{17m^2 + 16m + 17}\cdot \sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}2$
$\iff 2(5m+5) = \sqrt 2 \cdot \sqrt{17m^2 + 16m + 17}\cdot \sqrt 2$
$\iff \begin{cases} 2(5m +5) \ge 0 \\ (2\cdot (5m +5))^2 = (\sqrt 2 \cdot \sqrt{17m^2 + 16m + 17}\cdot \sqrt 2)^2 \end{cases}$
$\iff \dots$
$\iff \begin{cases} m \ge 1 \\ 8m^2 + 34m + 8 = 0 \end{cases}$
$\implies m = -\dfrac{1}4$

III. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm m để hai vector $\overrightarrow{a} =(1;-3);\overrightarrow{b} =(m^2;4)$ tạo với nhau một góc bằng $90^\circ$
A. $m = 12$
B. $m = 2\sqrt 3$
C. $m = -2\sqrt 3$
D. $m = \pm 2\sqrt 3$
Bài 2: Cho hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn các điều kiện: $|\overrightarrow{a}| = \dfrac{1}2 |\overrightarrow{b}| = 1; |\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}| = \sqrt{15}$
Đặt $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ và $\overrightarrow{v}= 2k \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} \ \ k \in \mathbb R$. Tìm tất cả giá trị của k sao cho $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}) = 60^\circ$
A. $4 + \dfrac{3\sqrt 5}{2}$
B. $4\pm \dfrac{3\sqrt 5}{2}$
C. $5 + \dfrac{\sqrt 17}2$
D. $5 \pm \dfrac{\sqrt 17}2$
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai vector $\overrightarrow{a} = (3;m)$ và $\overrightarrow{b} = (1;7)$. Xác định $m$ để góc giữa hai vector $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là $45^\circ$.