Mới học lý thuyết nhóm, có một cách làm khá hay.
Quy đồng, rút gọn, ta được bất đẳng thức tương đương:
$$\sum\limits_{sym}(4a^5b-a^4b^2-3a^3b^3+a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2) \ge 0$$
Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức Schur bậc 3 cho $abc$ ta được:
$$\sum\limits_{sym}(a^4bc-2a^3b^2c+a^2b^2c^2) \ge 0$$
Ngoài ra ta có $(5;1;0) \succ (4;2;0) \succ (3;3;0)$ nên áp dụng bất đẳng thức Muirhead:
$$[5;1;0]\ge [4;2;0]$$
$$3[5;1;0] \ge 3[3;3;0]$$
$$\rightarrow \sum\limits_{sym}(4a^5b-a^4b^2-3a^3b^3) \ge 0$$
Cộng 2 bất đẳng thức vừa được thiết lập, ta có được bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b, c\to0$ và các hoán vị.