Giả sử [imath]t[/imath] là một nghiệm thực của phương trình. Ta có:
[imath]t^4+at^3+3t^2+2bt+2=0 \Rightarrow t^4+3t^2+2=-(at^3+2bt)[/imath]
[imath]\Rightarrow -(at^2+2b)=\dfrac{(t^2+2)(t^2+1)}{t}[/imath]
[imath]\Rightarrow (at^2+2b)^2=\dfrac{(t^2+2)^2(t^2+1)^2}{t^2}[/imath]
Áp dụng BĐT CBS ta có:
[imath](a^2+2b^2)(t^4+2) \geq (at^2+2b)^2=\dfrac{(t^2+2)^2(t^2+1)^2}{t^2}[/imath]
Từ đó [imath]a^2+2b^2 \geq \dfrac{(t^2+2)^2(t^2+1)^2}{t^2(t^4+2)}=\dfrac{(t+\dfrac{1}{t})^2(t+\dfrac{2}{t})^2}{t^2+\dfrac{2}{t^2}}[/imath]
[imath]=\dfrac{(t^2+\dfrac{1}{t^2}+2)(t^2+\dfrac{4}{t^2}+4)}{t^2+\dfrac{2}{t^2}}[/imath]
Đặt [imath]t^2+\dfrac{1}{t^2}=y \geq 2, t^2+\dfrac{4}{t^2}=z \geq 4[/imath] thì [imath]t^2+\dfrac{2}{t^2}=\dfrac{1}{3}(2y+z)[/imath]
Khi đó [imath]a^2+b^2 \geq 3 \cdot \dfrac{(y+2)(z+4)}{2y+z}=3 \cdot \dfrac{(y-2)(z-4)+8y+4z}{2y+z}=12+\dfrac{(y-2)(z-4)}{2y+z} \geq 12[/imath]
Dấu "=" xảy ra chẳng hạn khi [imath]t=1,a=b=-2[/imath].
Vậy [imath]\min H=12[/imath].
Nếu còn thắc mắc chỗ nào bạn hãy trả lời dưới topic này để được hỗ trợ nhé ^^ Chúc bạn học tốt ^^
Ngoài ra, bạn tham khảo kiến thức tại đây nhé
[Lý thuyết] Chuyên đề HSG : Bất đẳng thức
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
